Dạng căn là một phát biểu đại số có dấu của căn bậc hai (hoặc căn bậc hai hoặc cao hơn). Dạng này thường có thể đại diện cho hai số có cùng giá trị mặc dù thoạt nhìn chúng có thể khác nhau (ví dụ: 1 / (sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Vì vậy, chúng ta cần một “công thức chuẩn” cho dạng bài này. Nếu có hai câu lệnh, cả hai đều trong công thức chuẩn, có vẻ khác nhau, thì chúng không giống nhau. Các nhà toán học đồng ý rằng công thức chuẩn của dạng bậc hai đáp ứng các yêu cầu sau:
- Tránh sử dụng phân số
- Không sử dụng lũy thừa phân số
- Tránh sử dụng mẫu gốc ở mẫu số
- Không chứa phép nhân của hai dạng căn
- Các số dưới gốc không thể root được nữa
Một ứng dụng thực tế của điều này là trong các kỳ thi trắc nghiệm. Khi bạn tìm thấy câu trả lời, nhưng câu trả lời của bạn không giống với các tùy chọn có sẵn, hãy cố gắng đơn giản hóa nó thành một công thức chuẩn. Vì người đặt câu hỏi thường viết câu trả lời theo công thức chuẩn, hãy làm tương tự với câu trả lời của bạn để khớp với câu trả lời của họ. Trong câu hỏi tự luận, các lệnh như "simple your answer" hoặc "simple all root" có nghĩa là học sinh phải thực hiện các bước sau cho đến khi đáp ứng được công thức chuẩn như trên. Bước này cũng có thể được sử dụng để giải phương trình, mặc dù một số loại phương trình dễ giải hơn trong các công thức không chuẩn.
Bươc chân
Bước 1. Nếu cần, hãy xem lại các quy tắc cho phép căn và số mũ (cả hai đều bằng nhau - căn là lũy thừa của phân số) vì chúng ta cần chúng trong quá trình này
Cũng xem lại các quy tắc đơn giản hóa đa thức và dạng hữu tỉ vì chúng ta sẽ cần đơn giản hóa chúng.
Phương pháp 1/6: Hình vuông hoàn hảo
Bước 1. Đơn giản hóa tất cả các gốc có chứa các hình vuông hoàn hảo
Hình vuông hoàn hảo là tích của một số, ví dụ 81, là tích của 9 x 9. Để đơn giản hóa một hình vuông hoàn hảo, chỉ cần bỏ căn bậc hai và viết ra căn bậc hai của số đó.
- Ví dụ, 121 là một hình vuông hoàn hảo vì 11 x 11 bằng 121. Vì vậy, bạn có thể đơn giản hóa căn (121) thành 11, bằng cách loại bỏ dấu căn.
- Để thực hiện bước này dễ dàng hơn, bạn sẽ cần nhớ mười hai hình vuông hoàn hảo đầu tiên: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Bước 2. Đơn giản hóa tất cả các gốc có chứa các hình khối hoàn hảo
Một hình lập phương hoàn hảo là tích của việc nhân một số với chính nó hai lần, ví dụ 27, là tích của 3 x 3 x 3. Để đơn giản hóa dạng căn của một hình lập phương hoàn hảo, chỉ cần bỏ căn bậc hai và viết ra căn bậc hai. của số.
Ví dụ, 343 là một khối lập phương hoàn hảo vì nó là tích của 7 x 7 x 7. Vậy căn của khối của 343 là 7
Phương pháp 2/6: Chuyển đổi phân số thành rễ
Hoặc thay đổi theo cách khác (đôi khi sẽ hữu ích), nhưng đừng trộn chúng trong cùng một câu lệnh như root (5) + 5 ^ (3/2). Chúng tôi sẽ giả định rằng bạn muốn sử dụng biểu mẫu căn và chúng tôi sẽ sử dụng các ký hiệu root (n) cho căn bậc hai và sqrt ^ 3 (n) cho căn bậc hai.
Bước 1. Lấy một lũy thừa của phân số và chuyển nó về dạng căn, ví dụ x ^ (a / b) = căn thành lũy thừa b của x ^ a
Nếu căn bậc hai ở dạng phân số, hãy chuyển nó về dạng chính tắc. Ví dụ, căn bậc hai (2/3) của 4 = căn (4) ^ 3 = 2 ^ 3 = 8
Bước 2. Chuyển số mũ âm thành phân số, ví dụ x ^ -y = 1 / x ^ y
Công thức này chỉ áp dụng cho số mũ hữu tỉ và hằng số. Nếu bạn đang giải quyết một dạng như 2 ^ x, đừng thay đổi nó, ngay cả khi bài toán chỉ ra rằng x có thể là một phân số hoặc một số âm
Bước 3. Hợp nhất cùng một bộ lạc và đơn giản hóa dạng hợp lý kết quả.
Phương pháp 3/6: Loại bỏ phân số ở rễ
Công thức chuẩn yêu cầu gốc phải là một số nguyên.
Bước 1. Nhìn vào số dưới căn bậc hai nếu nó vẫn chứa một phân số
Nếu vẫn,…
Bước 2. Thay đổi thành một phân số bao gồm hai gốc bằng cách sử dụng gốc đồng nhất (a / b) = sqrt (a) / sqrt (b)
Không sử dụng danh tính này nếu mẫu số là âm hoặc nếu đó là một biến có thể âm. Trong trường hợp này, hãy đơn giản hóa phân số trước
Bước 3. Đơn giản hóa từng hình vuông hoàn hảo của kết quả
Đó là, chuyển đổi sqrt (5/4) thành sqrt (5) / sqrt (4), sau đó đơn giản hóa thành sqrt (5) / 2.
Bước 4. Sử dụng các phương pháp đơn giản hóa khác như đơn giản hóa phân số phức tạp, kết hợp các số hạng bằng nhau, v.v
Phương pháp 4/6: Kết hợp rễ nhân
Bước 1. Nếu bạn đang nhân một căn bậc hai với một căn khác, hãy kết hợp cả hai trong một căn bậc hai bằng cách sử dụng công thức:
sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab). Ví dụ, thay đổi root (2) * root (6) thành root (12).
- Nhận dạng ở trên, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (ab), hợp lệ nếu số dưới dấu của sqrt không âm. Không sử dụng công thức này khi a và b âm vì bạn sẽ mắc lỗi khi tạo sqrt (-1) * sqrt (-1) = sqrt (1). Câu lệnh bên trái bằng -1 (hoặc không xác định nếu bạn không sử dụng số phức) trong khi câu lệnh bên phải là +1. Nếu a và / hoặc b là số âm, trước tiên hãy "thay đổi" dấu hiệu như sqrt (-5) = i * sqrt (5). Nếu biểu mẫu dưới dấu gốc là một biến mà dấu của nó không xác định được từ ngữ cảnh hoặc có thể là dương hoặc âm, hãy để nguyên như vậy cho đến thời điểm hiện tại. Bạn có thể sử dụng danh tính tổng quát hơn, sqrt (a) * sqrt (b) = sqrt (sgn (a)) * sqrt (sgn (b)) * sqrt (| ab |) áp dụng cho tất cả các số thực a và b, nhưng thường thì công thức này không giúp được gì nhiều vì nó làm tăng thêm độ phức tạp khi sử dụng hàm sgn (signum).
- Nhận dạng này chỉ hợp lệ nếu các dạng của gốc có cùng số mũ. Bạn có thể nhân các căn bậc hai khác nhau, chẳng hạn như sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) bằng cách chuyển đổi chúng thành cùng một căn bậc hai. Để thực hiện việc này, hãy tạm thời chuyển đổi căn bậc hai thành phân số: sqrt (5) * sqrt ^ 3 (7) = 5 ^ (1/2) * 7 ^ (1/3) = 5 ^ (3/6) * 7 ^ (2/6) = 125 ^ (1/6) * 49 ^ (1/6). Sau đó, sử dụng quy tắc nhân để nhân hai với căn bậc hai của 6125.
Phương pháp 5/6: Loại bỏ Hệ số Vuông khỏi Gốc
Bước 1. Tính các gốc không hoàn hảo thành thừa số nguyên tố
Thừa số là một số mà khi nhân với một số khác sẽ tạo thành một số - ví dụ: 5 và 4 là hai thừa số của 20. Để chia nhỏ các nghiệm nguyên không hoàn hảo, hãy viết ra tất cả các thừa số của số đó (hoặc càng nhiều càng tốt, nếu số quá lớn) cho đến khi bạn tìm thấy một hình vuông hoàn hảo.
Ví dụ, cố gắng tìm tất cả các thừa số của 45: 1, 3, 5, 9, 15 và 45. 9 là thừa số của 45 và cũng là một hình vuông hoàn hảo (9 = 3 ^ 2). 9 x 5 = 45
Bước 2. Loại bỏ tất cả các số nhân là bình phương hoàn hảo trong căn bậc hai
9 là một hình vuông hoàn hảo vì nó là tích của 3 x 3. Lấy 9 ra khỏi căn bậc hai và thay nó bằng 3 ở phía trước của căn bậc hai, để lại 5 bên trong căn bậc hai. Nếu bạn "đặt" 3 trở lại căn bậc hai, hãy nhân với chính nó để tạo thành 9, và nếu bạn nhân với 5, nó sẽ trả về 45. 3 gốc của 5 là một cách đơn giản để diễn đạt số gốc của 45.
Tức là, sqrt (45) = sqrt (9 * 5) = sqrt (9) * sqrt (5) = 3 * sqrt (5)
Bước 3. Tìm hình vuông hoàn hảo trong biến
Căn bậc hai của bình phương là | a |. Bạn có thể đơn giản hóa điều này thành chỉ "a" nếu biến đã biết là dương. Căn bậc hai của a thành lũy thừa của 3 khi chia thành căn bậc hai của bình phương nhân lần a - hãy nhớ rằng số mũ cộng lại khi chúng ta nhân hai số với lũy thừa của a, vì vậy a bình phương nhân với a bằng quyền lực thứ ba.
Do đó, một hình vuông hoàn hảo dưới dạng một hình lập phương là một hình vuông
Bước 4. Loại bỏ biến chứa bình phương hoàn hảo khỏi căn bậc hai
Bây giờ, lấy một bình phương từ căn bậc hai và thay đổi nó thành | a |. Dạng đơn giản của căn a với lũy thừa của 3 là | a | gốc a.
Bước 5. Kết hợp các số hạng bằng nhau và đơn giản hóa tất cả các nghiệm thức của kết quả tính toán
Phương pháp 6/6: Hợp lý hóa Mẫu số
Bước 1. Công thức chuẩn yêu cầu mẫu số phải là số nguyên (hoặc đa thức nếu nó chứa một biến) càng nhiều càng tốt
-
Nếu mẫu số bao gồm một số hạng dưới dấu căn, chẳng hạn như […] / root (5), thì nhân cả tử số và mẫu số với căn số đó để được […] * sqrt (5) / sqrt (5) * sqrt (5) = […] * root (5) / 5.
Đối với các căn bậc ba trở lên, nhân với căn bậc hai sao cho mẫu số là số hữu tỉ. Nếu mẫu số là căn ^ 3 (5), hãy nhân tử số và mẫu số với sqrt ^ 3 (5) ^ 2
-
Nếu mẫu số bao gồm phép cộng hoặc trừ hai căn bậc hai, chẳng hạn như sqrt (2) + sqrt (6), hãy nhân số lượng và mẫu số với liên hợp của chúng, cùng dạng nhưng ngược dấu. Sau đó […] / (root (2) + root (6)) = […] (root (2) -root (6)) / (root (2) + root (6)) (root (2) -root (6)). Sau đó, sử dụng công thức nhận dạng cho hiệu của hai bình phương [(a + b) (ab) = a ^ 2-b ^ 2] để hợp lý hóa mẫu số, để đơn giản hóa (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2) ^ 2 - sqrt (6) ^ 2 = 2-6 = -4.
- Điều này cũng áp dụng cho các mẫu số như 5 + sqrt (3) vì tất cả các số nguyên là gốc của các số nguyên khác. [1 / (5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3)) / (5 ^ 2-sqrt (3) ^ 2) = (5-sqrt (3)) / (25-3) = (5-sqrt (3)) / 22]
- Phương pháp này cũng áp dụng cho việc cộng các gốc như sqrt (5) -sqrt (6) + sqrt (7). Nếu bạn nhóm chúng thành (sqrt (5) -sqrt (6)) + sqrt (7) và nhân với (sqrt (5) -sqrt (6)) - sqrt (7), câu trả lời không ở dạng hữu tỉ, nhưng vẫn ở gốc a + b * (30) trong đó a và b đã là các số hữu tỉ. Sau đó lặp lại quá trình với các liên từ a + b * sqrt (30) và (a + b * sqrt (30)) (a-b * sqrt (30)) sẽ là hợp lý. Về bản chất, nếu bạn có thể sử dụng thủ thuật này để loại bỏ một dấu rễ ở mẫu số, bạn có thể lặp lại nhiều lần để loại bỏ tất cả các dấu rễ.
- Phương pháp này cũng có thể được sử dụng cho các mẫu số có chứa căn cao hơn, chẳng hạn như căn thứ tư của 3 hoặc căn thứ bảy của 9. Nhân tử số và mẫu số với liên hợp của mẫu số. Thật không may, chúng ta không thể trực tiếp lấy liên từ của mẫu số và rất khó để làm điều đó. Chúng ta có thể tìm thấy câu trả lời trong một cuốn sách đại số về lý thuyết số, nhưng tôi sẽ không đi sâu vào vấn đề đó.
Bước 2. Bây giờ mẫu số ở dạng hữu tỉ, nhưng tử số trông có vẻ lộn xộn
Bây giờ tất cả những gì bạn phải làm là nhân nó với liên hợp của mẫu số. Hãy tiếp tục và nhân như chúng ta sẽ nhân các đa thức. Kiểm tra xem có thể bỏ qua, đơn giản hóa hoặc kết hợp bất kỳ thuật ngữ nào không, nếu có thể.
Bước 3. Nếu mẫu số là số nguyên âm, hãy nhân cả tử số và mẫu số với -1 để thành số dương
Lời khuyên
- Bạn có thể tìm kiếm trực tuyến các trang web có thể giúp đơn giản hóa các biểu mẫu gốc. Chỉ cần gõ phương trình có dấu căn và sau khi nhấn Enter, câu trả lời sẽ hiện ra.
- Đối với các câu hỏi đơn giản hơn, bạn có thể không sử dụng tất cả các bước trong bài viết này. Đối với những câu hỏi phức tạp hơn, bạn có thể cần sử dụng nhiều bước nhiều hơn một lần. Sử dụng các bước "đơn giản" một vài lần và kiểm tra xem câu trả lời của bạn có phù hợp với tiêu chí xây dựng công thức chuẩn mà chúng ta đã thảo luận trước đó hay không. Nếu câu trả lời của bạn nằm trong công thức chuẩn, bạn đã hoàn thành; nhưng nếu không, bạn có thể kiểm tra một trong các bước trên để giúp bạn hoàn thành.
- Hầu hết các tham chiếu đến "công thức chuẩn được khuyến nghị" cho dạng căn cũng áp dụng cho số phức (i = root (-1)). Ngay cả khi một câu lệnh chứa chữ "i" thay vì gốc, hãy tránh các mẫu số vẫn chứa chữ i càng nhiều càng tốt.
- Một số hướng dẫn trong bài viết này giả định rằng tất cả các gốc đều là hình vuông. Các nguyên tắc chung tương tự áp dụng cho gốc rễ của các lũy thừa cao hơn, mặc dù một số phần (đặc biệt là hợp lý hóa mẫu số) có thể khá khó khăn để làm việc với. Tự quyết định hình dạng bạn muốn, chẳng hạn như sqr ^ 3 (4) hoặc sqr ^ 3 (2) ^ 2. (Tôi không nhớ dạng đề thường được gợi ý trong sách giáo khoa).
- Một số hướng dẫn trong bài viết này sử dụng từ "công thức chuẩn" để mô tả "dạng thông thường". Sự khác biệt là công thức chuẩn chỉ chấp nhận dạng 1 + sqrt (2) hoặc sqrt (2) +1 và coi các dạng khác là không chuẩn; Dạng đơn giản giả định rằng bạn, người đọc, đủ thông minh để thấy "sự giống nhau" của hai số này mặc dù chúng không giống nhau về văn bản ('giống nhau' có nghĩa là thuộc tính số học của chúng (phép cộng giao hoán), không phải thuộc tính đại số của chúng (gốc (2) là căn không âm của x ^ 2-2)). Chúng tôi hy vọng rằng độc giả sẽ hiểu được sự bất cẩn nhỏ trong việc sử dụng thuật ngữ này.
- Nếu bất kỳ manh mối nào có vẻ mơ hồ hoặc mâu thuẫn, hãy thực hiện tất cả các bước rõ ràng và nhất quán, sau đó chọn bất kỳ hình dạng nào bạn thích.
