Học cách đơn giản hóa các biểu thức đại số là một trong những chìa khóa để thành thạo đại số cơ bản và là công cụ hữu ích nhất mà bất kỳ nhà toán học nào cũng cần phải có. Đơn giản hóa cho phép các nhà toán học chuyển đổi các biểu thức phức tạp, dài và / hoặc lẻ thành các biểu thức tương đương đơn giản hơn hoặc dễ dàng hơn. Các kỹ năng đơn giản hóa cơ bản rất dễ học - ngay cả đối với những người ghét toán học. Bằng cách làm theo một vài bước đơn giản, bạn có thể đơn giản hóa nhiều dạng biểu thức đại số thường dùng nhất mà không cần sử dụng bất kỳ kiến thức đặc biệt nào về toán học. Hãy xem Bước 1 để bắt đầu!
Bươc chân
Hiểu các khái niệm quan trọng
Bước 1. Nhóm các thuật ngữ giống như các biến và lũy thừa của chúng
Trong đại số, các thuật ngữ giống như có cấu hình biến đổi giống nhau, có cùng công suất. Nói cách khác, để hai số hạng bằng nhau, chúng phải có cùng một biến, hoặc không có biến nào cả, và mỗi biến có cùng lũy thừa, hoặc không có số mũ. Thứ tự của các biến trong điều kiện không quan trọng.
Ví dụ: 3x2 và 4x2 giống như các số hạng vì cả hai đều có một biến x với lũy thừa của bình phương. Tuy nhiên, x và x2 không giống như các số hạng vì mỗi số hạng có một biến x với một lũy thừa khác nhau. Hầu như giống nhau, -3yx và 5xz không giống như các số hạng vì mỗi số hạng có một biến khác nhau.
Bước 2. Thừa số bằng cách viết số dưới dạng tích của hai thừa số
Bao thanh toán là khái niệm viết ra một số nhất định dưới dạng tích của hai thừa số được nhân với nhau. Các số có thể có nhiều hơn một tập hợp các yếu tố - ví dụ: 12 có thể được lấy từ 1 × 12, 2 × 6 và 3 × 4, vì vậy chúng ta có thể nói rằng 1, 2, 3, 4, 6 và 12 là các thừa số of 12 Một cách hình dung khác là các thừa số của một số là các số chia cho số nguyên.
- Ví dụ: nếu chúng ta muốn thừa số 20, chúng ta có thể viết nó là 4 × 5.
- Lưu ý rằng các thuật ngữ biến đổi cũng có thể được tính theo yếu tố. -20x, chẳng hạn, có thể được viết là 4 (5x).
- Các số nguyên tố không thể được tính thừa vì chúng chỉ có thể chia cho chính chúng và 1.
Bước 3. Sử dụng từ viết tắt KaPaK BoTaK để ghi nhớ thứ tự các thao tác
Đôi khi, việc đơn giản hóa một biểu thức chỉ đơn giản là giải quyết hoạt động trong phương trình cho đến khi nó không còn khả thi nữa. Trong những trường hợp này, điều rất quan trọng là phải nhớ thứ tự của các phép toán để không xảy ra lỗi số học. Từ viết tắt KaPaK BoTaK sẽ giúp bạn nhớ thứ tự các thao tác - các chữ cái chỉ ra các loại thao tác bạn nên thực hiện, theo thứ tự:
- KThất bại
- Pnâng lên
- Kali
- NSlần nữa
- NScộng
- Kcon tôm
Phương pháp 1 trong 3: Hợp nhất Điều khoản thích
Bước 1. Viết ra phương trình của bạn
Các phương trình đại số đơn giản nhất, chỉ liên quan đến một số hạng biến với hệ số nguyên và không có phân số, nghiệm nguyên, v.v., thường có thể được giải chỉ trong một vài bước. Đối với hầu hết các bài toán, bước đầu tiên để đơn giản hóa phương trình của bạn là viết nó ra!
Như một bài toán ví dụ, trong vài bước tiếp theo, chúng tôi sử dụng biểu thức 1 + 2x - 3 + 4x.
Bước 2. Xác định các bộ lạc tương tự
Tiếp theo, hãy tìm các thuật ngữ tương tự trong phương trình của bạn. Hãy nhớ rằng các thuật ngữ tương tự có cùng một biến và số mũ.
Ví dụ, hãy xác định các số hạng giống như trong phương trình 1 + 2x - 3 + 4x. 2x và 4x đều có cùng một biến với cùng một lũy thừa (trong trường hợp này, x không có số mũ). Ngoài ra, 1 và -3 giống như các số hạng vì chúng không có biến. Vì vậy, trong phương trình của chúng tôi, 2x và 4x và 1 và -3 là những bộ lạc tương tự.
Bước 3. Kết hợp các điều khoản giống như
Bây giờ bạn đã xác định các thuật ngữ giống như vậy, bạn có thể kết hợp chúng để đơn giản hóa phương trình của mình. Cộng các số hạng (hoặc trừ trong trường hợp số hạng âm) để giảm tập hợp các số hạng có cùng biến và số mũ thành một số hạng bằng nhau.
-
Hãy thêm các thuật ngữ tương tự trong ví dụ của chúng tôi.
- 2x + 4x = 6x
- 1 + -3 = - 2
Bước 4. Tạo một phương trình đơn giản hơn từ các thuật ngữ đã được đơn giản hóa
Sau khi kết hợp các thuật ngữ tương tự của bạn, hãy lập một phương trình từ tập hợp các thuật ngữ mới, nhỏ hơn. Bạn sẽ nhận được một phương trình đơn giản hơn, có một thuật ngữ cho các tập hợp biến và lũy thừa khác nhau trong phương trình ban đầu. Phương trình mới này tương đương với phương trình ban đầu.
Trong ví dụ của chúng tôi, các số hạng đơn giản của chúng tôi là 6x và -2, vì vậy phương trình mới của chúng tôi là 6x - 2. Phương trình đơn giản này tương đương với phương trình ban đầu (1 + 2x - 3 + 4x), nhưng ngắn hơn và dễ làm việc hơn. Nó cũng dễ dàng hơn để xác định, mà chúng ta sẽ xem xét bên dưới, đây là một kỹ năng đơn giản hóa quan trọng khác.
Bước 5. Thực hiện theo thứ tự các thao tác khi kết hợp các thuật ngữ tương tự
Trong các phương trình rất đơn giản như phương trình chúng ta đã làm trong bài toán ví dụ ở trên, việc xác định các thuật ngữ tương tự rất dễ dàng. Tuy nhiên, trong các phương trình phức tạp hơn, chẳng hạn như các biểu thức liên quan đến các số hạng trong ngoặc đơn, phân số và căn, như các thuật ngữ có thể kết hợp có thể không hiển thị rõ ràng. Trong những trường hợp này, hãy làm theo thứ tự của các phép toán, thực hiện các phép toán trên các số hạng trong biểu thức của bạn nếu cần cho đến khi các phép toán cộng và trừ vẫn còn.
-
Ví dụ, hãy sử dụng phương trình 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x. Sẽ là sai lầm nếu ngay lập tức coi 3x và 2x như các số hạng và kết hợp chúng vì dấu ngoặc đơn trong biểu thức cho biết rằng chúng ta phải thực hiện các phép toán khác trước. Đầu tiên, chúng ta thực hiện các phép tính số học trên biểu thức theo thứ tự các phép toán để có được các số hạng mà chúng ta có thể sử dụng. Xem phần sau:
- 5 (3x-1) + x ((2x) / (2)) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
- 15x - 5 + x2 + 8 - 3x. Bây giờ, vì các phép toán duy nhất còn lại là cộng và trừ, chúng ta có thể kết hợp các số hạng như vậy.
- NS2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
- NS2 + 12x + 3
Phương pháp 2/3: Bao thanh toán
Bước 1. Xác định nhân tử chung lớn nhất trong biểu thức
Bao thanh toán là một cách để đơn giản hóa một biểu thức bằng cách loại bỏ các thừa số giống nhau về tất cả các thuật ngữ giống nhau trong biểu thức. Để bắt đầu, hãy tìm nhân tử chung lớn nhất mà tất cả các số hạng có - nói cách khác, số lớn nhất chia tất cả các số hạng trong tổng thể biểu thức.
-
Hãy sử dụng phương trình 9x.2 + 27x - 3. Chú ý rằng mọi số hạng trong phương trình này đều chia hết cho 3. Vì các số hạng không chia hết cho bất kỳ số nào lớn hơn, nên chúng ta có thể nói rằng
Bước 3. là yếu tố chung lớn nhất của chúng tôi.
Bước 2. Chia các số hạng trong biểu thức cho nhân tử chung lớn nhất
Tiếp theo, chia mỗi số hạng trong phương trình của bạn cho nhân tử chung lớn nhất mà bạn vừa tìm được. Các số hạng thương sẽ có hệ số nhỏ hơn phương trình ban đầu.
-
Hãy nhân phương trình của chúng ta theo nhân tử chung lớn nhất của nó, 3. Để làm điều này, chúng ta sẽ chia mỗi số hạng cho 3.
- 9x2/ 3 = 3x2
- 27x / 3 = 9x
- -3/3 = -1
- Do đó, biểu thức mới của chúng tôi là 3x2 + 9x - 1.
Bước 3. Viết biểu thức của bạn dưới dạng tích của nhân tử chung lớn nhất nhân với các số hạng còn lại
Biểu thức mới của bạn không tương đương với biểu thức ban đầu của bạn, vì vậy sẽ không chính xác nếu nói rằng biểu thức đã được đơn giản hóa. Để làm cho biểu thức mới của chúng ta bằng với biểu thức ban đầu, chúng ta phải bao gồm thực tế là biểu thức của chúng ta đã được chia cho nhân tử chung lớn nhất. Đặt biểu thức mới của bạn trong dấu ngoặc đơn và viết nhân tử chung lớn nhất của phương trình ban đầu dưới dạng hệ số biểu thức trong dấu ngoặc đơn.
Đối với phương trình ví dụ của chúng tôi, 3x2 + 9x - 1, chúng ta có thể đặt biểu thức trong dấu ngoặc đơn và nhân nó với nhân tử chung lớn nhất của phương trình ban đầu để được 3 (3x2 + 9x - 1). Phương trình này tương đương với phương trình ban đầu, 9x2 + 27x - 3.
Bước 4. Sử dụng tính toán để đơn giản hóa phân số
Bây giờ bạn có thể tự hỏi tại sao lại sử dụng tính thừa, nếu ngay cả sau khi loại bỏ thừa số chung lớn nhất, biểu thức mới vẫn phải được nhân một lần nữa với thừa số đó. Trên thực tế, bao thanh toán cho phép các nhà toán học thực hiện nhiều thủ thuật khác nhau để đơn giản hóa các biểu thức. Một trong những thủ thuật đơn giản nhất của anh ấy là lợi dụng thực tế là nhân tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số có thể tạo ra các phân số tương đương. Xem phần sau:
-
Nói biểu thức ví dụ ban đầu của chúng tôi, 9x2 + 27x - 3, là lượng tử của phân số lớn hơn với 3 là tử số. Phân số sẽ như thế này: (9x2 + 27x - 3) / 3. Chúng ta có thể sử dụng tính toán để đơn giản hóa phân số.
- Hãy thay dạng tính thừa của biểu thức ban đầu của chúng ta cho biểu thức ở tử số: (3 (3x2 + 9x - 1)) / 3
- Để ý rằng bây giờ, cả tử số và mẫu số đều có hệ số là 3. Chia tử số và mẫu số cho 3, ta được: (3x2 + 9x - 1) / 1.
- Vì bất kỳ phân số nào có mẫu số là 1 đều tương đương với các số hạng trong tử số, chúng ta có thể nói rằng phân số ban đầu của chúng ta có thể được đơn giản hóa thành 3x2 + 9x - 1.
Phương pháp 3/3: Áp dụng kỹ năng đơn giản hóa bổ sung
Bước 1. Đơn giản hóa phân số bằng cách chia cho các thừa số giống nhau
Như đã lưu ý ở trên, nếu tử số và mẫu số của một phương trình có cùng thừa số thì có thể bỏ qua hoàn toàn các yếu tố này trong phân số. Đôi khi, nó sẽ yêu cầu tính thừa số ở tử số, mẫu số hoặc cả hai (như trường hợp trong bài toán ví dụ ở trên) trong khi đôi khi các yếu tố giống nhau thường hiển nhiên. Lưu ý rằng cũng có thể chia các số hạng của tử số cho phương trình ở mẫu số một để được một biểu thức đơn giản.
-
Hãy làm việc với một ví dụ không yêu cầu bao thanh toán. Đối với phân số (5x2 + 10x + 20) / 10, chúng ta có thể chia mỗi số hạng ở tử số cho 10 để đơn giản hóa, ngay cả khi hệ số là 5 trong 5x2 không lớn hơn 10 và do đó 10 không phải là một hệ số.
Nếu chúng ta làm như vậy, chúng ta sẽ nhận được ((5x2) / 10) + x + 2. Nếu muốn, chúng ta có thể viết lại số hạng đầu tiên thành (1/2) x2 vì vậy chúng tôi nhận được (1/2) x2 + x + 2.
Bước 2. Sử dụng các yếu tố bình phương để đơn giản hóa các rễ
Biểu thức dưới dấu căn được gọi là biểu thức căn. Biểu thức này có thể được đơn giản hóa bằng cách xác định các thừa số bình phương (thừa số là bình phương của số nguyên) và thực hiện phép toán căn bậc hai riêng biệt để loại bỏ chúng khỏi dấu căn bậc hai.
-
Hãy làm một ví dụ đơn giản - (90). Nếu chúng ta coi 90 là tích của hai thừa số của nó, 9 và 10, chúng ta có thể lấy căn bậc hai của 9 là số nguyên 3 và loại bỏ nó khỏi dấu căn. Nói cách khác:
- √(90)
- √(9 × 10)
- (√(9) × √(10))
- 3 × √(10)
- 3√(10)
Bước 3. Cộng số mũ khi nhân hai số mũ; trừ khi chia
Một số biểu thức đại số yêu cầu các số hạng lũy thừa nhân hoặc chia. Thay vì tính toán hoặc chia từng số mũ theo cách thủ công, chỉ cần cộng các số mũ khi nhân và trừ khi chia để tiết kiệm thời gian. Khái niệm này cũng có thể được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức biến.
-
Ví dụ, hãy sử dụng biểu thức 6x3 × 8x4 + (x17/NS15). Trong mọi trường hợp yêu cầu nhân hoặc chia số mũ, chúng ta sẽ trừ hoặc cộng số mũ tương ứng để nhanh chóng tìm ra số hạng đơn giản. Xem phần sau:
- 6x3 × 8x4 + (x17/NS15)
- (6 × 8) x3 + 4 + (x17 - 15)
- 48x7 + x2
-
Để biết giải thích về cách nó hoạt động, hãy xem bên dưới:
- Nhân các số hạng trong số mũ thực sự giống như nhân các số hạng không theo số mũ dài. Ví dụ, vì x3 = x × x × x và x 5 = x × x × x × x × x, x3 × x5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) hoặc x8.
- Gần giống nhau, chia số mũ cũng giống như chia các số hạng, không phải số mũ dài. NS5/NS3 = (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Vì mỗi số hạng trong tử số có thể bị gạch bỏ bằng cách tìm số hạng giống nhau ở mẫu số, nên chỉ còn lại hai chữ x ở tử số và không còn gì ở dưới cùng, cho kết quả là x2.
Lời khuyên
- Luôn nhớ rằng bạn phải tưởng tượng những con số này có dấu hiệu tích cực và tiêu cực. Nhiều người dừng lại để suy nghĩ xem tôi nên đặt Dấu hiệu gì ở đây?
- Hãy nhờ sự trợ giúp nếu bạn cần!
- Đơn giản hóa các biểu thức đại số không phải là dễ dàng, nhưng một khi bạn hiểu nó, bạn sẽ sử dụng nó cho phần còn lại của cuộc đời mình.
Cảnh báo
- Luôn tìm kiếm những bộ lạc tương tự và đừng để bị đánh lừa bởi thứ hạng.
- Đảm bảo rằng bạn không thêm số, quyền hạn hoặc các phép toán không nên vô tình.
