Phương trình hữu tỉ là một phân số có một hoặc nhiều biến ở tử số hoặc mẫu số. Một phương trình hữu tỉ là bất kỳ phân số nào có ít nhất một phương trình hữu tỉ. Giống như các phương trình đại số thông thường, phương trình hữu tỉ được giải bằng cách thực hiện cùng một phép toán trên cả hai vế của phương trình cho đến khi các biến có thể được chuyển sang một trong hai vế của phương trình. Hai kỹ thuật đặc biệt, nhân chéo và tìm mẫu số chung nhỏ nhất, là những cách rất hữu ích để chuyển biến và giải phương trình hữu tỉ.
Bươc chân
Phương pháp 1/2: Phép nhân chéo
Bước 1. Nếu cần, hãy sắp xếp lại phương trình của bạn để có một phân số ở một phía của phương trình
Phép nhân chéo là một cách nhanh chóng và dễ dàng để giải các phương trình hữu tỉ. Thật không may, phương pháp này chỉ có thể được sử dụng cho các phương trình hữu tỉ chứa ít nhất một phương trình hoặc phân số hữu tỉ trên mỗi vế của phương trình. Nếu phương trình của bạn không đáp ứng các yêu cầu về sản phẩm chéo này, bạn có thể phải sử dụng các phép toán đại số để di chuyển các phần đến đúng vị trí.
-
Ví dụ, phương trình (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 có thể dễ dàng chuyển thành tích chéo bằng cách thêm x / (- 2) vào cả hai vế của phương trình, để nó trở thành (x + 3) / 4 = x / (- 2).
Lưu ý rằng số thập phân và số nguyên có thể được chuyển đổi thành phân số bằng cách đưa ra mẫu số 1. (x + 3) / 4 - 2, 5 = 5, chẳng hạn, có thể được viết lại thành (x + 3) / 4 = 7, 5 / 1, làm cho nó thỏa mãn điều kiện nhân chéo
- Một số phương trình hữu tỉ không thể dễ dàng rút gọn về dạng có một phân số hoặc phương trình hữu tỉ ở mỗi vế. Trong những trường hợp như vậy, hãy sử dụng cùng một cách tiếp cận mẫu số nhỏ nhất.
Bước 2. Nhân chéo
Nhân chéo có nghĩa là nhân một trong các tử số của một phân số với mẫu số của một phân số khác và ngược lại. Nhân tử số của phân số ở bên trái với mẫu số của phân số ở bên phải. Lặp lại với mẫu số bên phải với mẫu số bên trái.
Phép nhân chéo hoạt động theo các nguyên tắc đại số cơ bản. Phương trình hữu tỉ và các phân số khác có thể được lập thành các phân số khác bằng cách nhân chúng với mẫu số. Tích chéo về cơ bản là một cách nhanh chóng để nhân cả hai vế của một phương trình với cả hai mẫu số. Đừng tin? Hãy thử - bạn sẽ nhận được kết quả tương tự sau khi đơn giản hóa nó
Bước 3. Làm cho hai sản phẩm bằng nhau
Sau khi nhân chéo, bạn sẽ nhận được hai kết quả nhân. Làm cho chúng bằng nhau và đơn giản hóa để làm cho phương trình càng đơn giản càng tốt.
Ví dụ: nếu phương trình hữu tỉ ban đầu của bạn là (x + 3) / 4 = x / (- 2), sau khi nhân chéo, phương trình mới của bạn trở thành -2 (x + 3) = 4x. Nếu bạn muốn, bạn cũng có thể viết nó dưới dạng -2x - 6 = 4x
Bước 4. Tìm giá trị của biến của bạn
Sử dụng các phép toán đại số để tìm giá trị của biến phương trình của bạn. Hãy nhớ rằng, nếu x xuất hiện ở cả hai vế của phương trình, bạn phải cộng hoặc trừ x ở cả hai vế của phương trình để chỉ x ở một vế của phương trình.
Trong ví dụ của chúng ta, chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho -2, do đó x + 3 = -2x. Trừ x cho cả hai vế ta được 3 = -3x. Cuối cùng, bằng cách chia cả hai vế cho -3, kết quả trở thành -1 = x, có thể được viết dưới dạng x = -1. Chúng tôi đã tìm thấy giá trị của x, giải phương trình hữu tỉ của chúng tôi
Phương pháp 2/2: Tìm mẫu số chung nhỏ nhất
Bước 1. Biết thời gian chính xác để sử dụng cùng một mẫu số nhỏ nhất
Có thể sử dụng cùng một mẫu số nhỏ nhất để đơn giản hóa các phương trình hữu tỉ, làm cho chúng có thể tìm kiếm được với các giá trị thay đổi. Tìm mẫu số chung nhỏ nhất là một ý kiến hay nếu phương trình hữu tỉ của bạn không thể dễ dàng viết dưới dạng một phân số (và chỉ một phân số) trên mỗi vế của phương trình. Để giải các phương trình hữu tỉ có ba phần trở lên, mẫu số chung nhỏ nhất là hữu ích. Tuy nhiên, để giải một phương trình hữu tỉ chỉ có hai phần, sử dụng tích chéo sẽ nhanh hơn.
Bước 2. Kiểm tra mẫu số của từng phân số
Xác định số nhỏ nhất mà mỗi mẫu số có thể chia và tạo ra một số nguyên. Con số này là mẫu số chung nhỏ nhất cho phương trình của bạn.
- Đôi khi mẫu số chung nhỏ nhất - tức là số nhỏ nhất có tất cả các thừa số trong mẫu số - có thể nhìn thấy rõ ràng. Ví dụ, nếu phương trình của bạn là x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, không khó để thấy số nhỏ nhất có thừa số là 3, 2 và 6, chính là số 6.
- Tuy nhiên, thông thường, mẫu số chung nhỏ nhất của một phương trình hữu tỉ không được nhìn thấy rõ ràng. Trong trường hợp như thế này, hãy thử kiểm tra bội số của mẫu số lớn hơn cho đến khi bạn tìm thấy một số có thừa số của tất cả các mẫu số nhỏ hơn khác. Thông thường, mẫu số chung nhỏ nhất là tích của hai mẫu số. Ví dụ, trong phương trình x / 8 + 2/6 = (x-3) / 9, mẫu số chung nhỏ nhất là 8 * 9 = 72.
- Nếu một hoặc nhiều mẫu số của phân số của bạn có biến, quá trình này khó hơn, nhưng có thể thực hiện được. Trong trường hợp như thế này, mẫu số chung nhỏ nhất là một phương trình (với một biến số) chia hết cho tất cả các mẫu số khác. Ví dụ trong phương trình 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), mẫu số chung nhỏ nhất là 3x (x-1) vì bất kỳ mẫu số nào cũng có thể chia nó - chia cho (x-1) được 3x, chia cho 3x được (x-1), và chia cho x được 3 (x-1).
Bước 3. Nhân mỗi phân số trong phương trình hữu tỉ với 1
Nhân từng phần với 1 dường như vô ích. Nhưng đây là mẹo. 1 có thể được định nghĩa là bất kỳ số nào giống nhau ở cả tử số và mẫu số, chẳng hạn như -2/2 và 3/3, là cách viết 1 đúng. Phương pháp này tận dụng lợi thế của định nghĩa thay thế. Nhân mỗi phân số trong phương trình hữu tỉ của bạn với 1, viết ra số 1 mà khi nhân với mẫu số sẽ cho mẫu số chung nhỏ nhất.
- Trong ví dụ cơ bản của chúng tôi, chúng tôi sẽ nhân x / 3 với 2/2 để được 2x / 6 và nhân 1/2 với 3/3 để được 3/6. 2x + 1/6 đã có cùng mẫu số nhỏ nhất là 6 nên ta có thể nhân nó với 1/1 hoặc để nguyên.
- Trong ví dụ của chúng tôi với một biến ở mẫu số của phân số, quá trình này phức tạp hơn một chút. Vì mẫu số nhỏ nhất của chúng ta là 3x (x-1), chúng ta nhân mỗi phương trình hữu tỉ với một thứ sẽ trả về 3x (x-1). Chúng ta sẽ nhân 5 / (x-1) với (3x) / (3x) cho 5 (3x) / (3x) (x-1), nhân 1 / x với 3 (x-1) / 3 (x- 1) cho 3 (x-1) / 3x (x-1) và nhân 2 / (3x) với (x-1) / (x-1) cho 2 (x-1) / 3x (x-1).
Bước 4. Đơn giản hóa và tìm giá trị của x
Bây giờ, vì mọi phần của phương trình hữu tỉ của bạn có cùng mẫu số, bạn có thể loại bỏ mẫu số khỏi phương trình của mình và giải cho tử số. Nhân cả hai vế của phương trình để nhận giá trị tử số. Sau đó, sử dụng các phép toán đại số để tìm giá trị của x (hoặc bất kỳ biến nào bạn muốn giải) trên một vế của phương trình.
- Trong ví dụ cơ bản của chúng ta, sau khi nhân tất cả các phần với dạng thay thế 1, chúng ta nhận được 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Hai phân số có thể được cộng nếu chúng có cùng mẫu số, vì vậy chúng ta có thể đơn giản hóa phương trình này thành (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6 mà không thay đổi giá trị. Nhân cả hai vế với 6 để bỏ mẫu số, do đó kết quả là 2x + 3 = 3x + 1. Trừ 1 cho cả hai vế để được 2x + 2 = 3x, và trừ 2x cho cả hai vế để được 2 = x, có thể viết thành x = 2.
- Trong ví dụ của chúng ta với một biến ở mẫu số, phương trình của chúng ta sau khi nhân với 1 trở thành 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 (x-1) / 3x (x-1). Nhân tất cả các phần với cùng một mẫu số nhỏ nhất, cho phép chúng ta bỏ qua mẫu số, trở thành 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Điều này cũng áp dụng cho 5x = 3x - 3 + 2x -2, đơn giản hóa thành 15x = x - 5. Trừ x cho cả hai vế ta được 14x = -5, cuối cùng, đơn giản hóa thành x = -5/14.
Lời khuyên
- Khi bạn đã giải được biến, hãy kiểm tra câu trả lời của bạn bằng cách cắm giá trị của biến vào phương trình ban đầu. Nếu giá trị biến của bạn là đúng, bạn có thể đơn giản hóa phương trình ban đầu của mình thành một câu lệnh đơn giản luôn bằng 1 = 1.
- Lưu ý rằng bạn có thể viết bất kỳ đa thức nào dưới dạng phương trình hữu tỉ; đặt nó ở trên mẫu số 1. Vì vậy, x + 3 và (x + 3) / 1 có cùng giá trị, nhưng phương trình thứ hai có thể được phân loại là phương trình hữu tỉ vì nó được viết dưới dạng phân số.
