Một đa thức chứa một biến (x) có lũy thừa, được gọi là bậc, và một số số hạng và / hoặc hằng số. Nhân tử một đa thức có nghĩa là chia phương trình thành các phương trình đơn giản hơn có thể nhân lên. Kỹ năng này ở Đại số 1 trở lên và có thể khó nắm bắt nếu kỹ năng toán học của bạn không ở cấp độ này.
Bươc chân
Bắt đầu
Bước 1. Thiết lập phương trình của bạn
Định dạng tiêu chuẩn cho phương trình bậc hai là:
cây rìu2 + bx + c = 0
Bắt đầu bằng cách sắp xếp các số hạng trong phương trình của bạn từ lũy thừa cao nhất đến thấp nhất, giống như ở định dạng tiêu chuẩn này. Ví dụ:
6 + 6x2 + 13x = 0
Chúng tôi sẽ sắp xếp lại phương trình này để dễ làm việc hơn bằng cách di chuyển các thuật ngữ:
6x2 + 13x + 6 = 0
Bước 2. Tìm hệ số bằng một trong các phương pháp sau
Tính nhân tử của đa thức thành hai phương trình đơn giản hơn có thể nhân với nhau để tạo ra đa thức ban đầu:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Trong ví dụ này, (2x + 3) và (3x + 2) là hệ số của phương trình ban đầu, 6x2 + 13x + 6.
Bước 3. Kiểm tra công việc của bạn
Nhân các yếu tố bạn có. Sau đó, kết hợp các điều khoản như vậy và bạn đã hoàn tất. Bắt đầu với:
(2x + 3) (3x + 2)
Hãy thử, nhân các thuật ngữ bằng cách sử dụng PLDT (đầu tiên - bên ngoài - bên trong - cuối cùng), kết quả là:
6x2 + 4x + 9x + 6
Từ đây, chúng ta có thể cộng 4x và 9x vì chúng giống như các thuật ngữ. Chúng tôi biết rằng các yếu tố của chúng tôi là chính xác bởi vì chúng tôi nhận được phương trình ban đầu của chúng tôi:
6x2 + 13x + 6
Phương pháp 1/6: Thử và Lỗi
Nếu bạn có một đa thức khá đơn giản, bạn có thể tự tìm thừa số chỉ bằng cách nhìn vào chúng. Ví dụ, sau khi thực hành, nhiều nhà toán học có thể nhận ra rằng phương trình 4x2 + 4x + 1 có thừa số là (2x + 1) và (2x + 1) chỉ cần nhìn thường xuyên. (Điều này tất nhiên sẽ không dễ dàng đối với những đa thức phức tạp hơn). Đối với ví dụ này, hãy sử dụng một phương trình ít được sử dụng hơn:
3x2 + 2x - 8
Bước 1. Viết danh sách các thừa số của số hạng a và số hạng c
Sử dụng định dạng phương trình ax2 + bx + c = 0, xác định các số hạng a, c và ghi thừa số của cả hai số hạng đó. Đối với 3x2 + 2x - 8, nghĩa là:
a = 3 và có tập hợp các thừa số: 1 * 3
c = -8 và có bốn bộ thừa số: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 và -1 * 8.
Bước 2. Viết ra hai bộ dấu ngoặc có khoảng trống
Bạn sẽ điền vào các ô trống mà bạn đã tạo với các hằng số cho mỗi phương trình:
(x) (x)
Bước 3. Điền vào ô trống phía trước x với các cặp thừa số có thể có giá trị của a
Đối với thuật ngữ a trong ví dụ của chúng tôi, 3x2, chỉ có một khả năng cho ví dụ của chúng tôi:
(3x) (1x)
Bước 4. Điền vào hai ô trống sau x với các cặp thừa số của hằng số
Giả sử chúng ta chọn 8 và 1. Viết chúng:
(3x
Bước 8.)(
Bước 1
Bước 5. Xác định dấu (cộng hoặc trừ) giữa biến x và hợp số
Tùy thuộc vào các dấu hiệu trong phương trình ban đầu, có thể tìm kiếm các dấu hiệu cho các hằng số. Giả sử chúng ta gọi hai hằng số là h và k cho hai yếu tố của chúng ta:
Nếu rìu2 + bx + c thì (x + h) (x + k)
Nếu rìu2 - bx - c hoặc ax2 + bx - c thì (x - h) (x + k)
Nếu rìu2 - bx + c thì (x - h) (x - k)
Ví dụ của chúng tôi, 3x2 + 2x - 8, hiệu là: (x - h) (x + k), cho ta hai thừa số:
(3x + 8) và (x - 1)
Bước 6. Kiểm tra các lựa chọn của bạn bằng phép nhân trước - sau (PLDT)
Bài kiểm tra nhanh đầu tiên là xem liệu số hạng giữa có ít nhất giá trị chính xác hay không. Nếu không, bạn có thể đã chọn sai các yếu tố c. Hãy kiểm tra câu trả lời của chúng tôi:
(3x + 8) (x - 1)
Bằng phép nhân, chúng ta nhận được:
3x2 - 3x + 8x - 8
Đơn giản hóa phương trình này bằng cách thêm các số hạng tương tự (-3x) và (8x), chúng ta nhận được:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Bây giờ chúng ta biết rằng chúng ta phải sử dụng sai các yếu tố:
3x2 + 5x - 8 3x2 + 2x - 8
Bước 7. Thay đổi lựa chọn của bạn nếu cần
Trong ví dụ của chúng tôi, hãy thử 2 và 4 thay vì 1 và 8:
(3x + 2) (x - 4)
Bây giờ số hạng c của chúng tôi là -8, nhưng tích bên ngoài / bên trong của chúng tôi (3x * -4) và (2 * x) là -12x và 2x, kết hợp lại sẽ không tạo ra số hạng b + 2x chính xác.
-12x + 2x = 10x
10x 2x
Bước 8. Đảo ngược thứ tự nếu cần thiết
Hãy thử hoán đổi 2 và 4:
(3x + 4) (x - 2)
Bây giờ, số hạng c của chúng ta (4 * 2 = 8) là đúng, nhưng tích bên ngoài / bên trong là -6x và 4x. Nếu chúng ta kết hợp chúng:
-6x + 4x = 2x
2x -2x Chúng ta đang ở khá gần với 2x mà chúng ta đang tìm kiếm, nhưng dấu hiệu sai.
Bước 9. Kiểm tra lại các thẻ của bạn nếu cần
Chúng tôi sẽ sử dụng cùng một thứ tự, nhưng hoán đổi các phương trình có dấu trừ:
(3x - 4) (x + 2)
Bây giờ thuật ngữ c không có vấn đề gì, và sản phẩm bên ngoài / bên trong hiện tại là (6x) và (-4x). Tại vì:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Bây giờ chúng ta có thể sử dụng 2x dương từ bài toán ban đầu. Đây phải là những yếu tố chính xác.
Phương pháp 2/6: Phân hủy
Phương pháp này sẽ xác định tất cả các yếu tố có thể có của các thuật ngữ a và c và sử dụng chúng để tìm ra các yếu tố chính xác. Nếu các con số quá lớn hoặc việc đoán có vẻ tốn thời gian, hãy sử dụng phương pháp này. Hãy sử dụng một ví dụ:
6x2 + 13x + 6
Bước 1. Nhân số hạng a với số hạng c
Trong ví dụ này, a là 6 và c cũng là 6.
6 * 6 = 36
Bước 2. Lấy số hạng b bằng cách bao thanh toán và thử nghiệm
Chúng ta đang tìm hai số là thừa số của tích a * c mà chúng ta đã xác định được và cộng với số hạng b (13).
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Bước 3. Thay hai số bạn nhận được vào phương trình bằng kết quả của việc cộng số hạng b
Hãy sử dụng k và h để biểu diễn hai số mà chúng ta có, 4 và 9:
cây rìu2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Bước 4. Nhân tử của đa thức bằng cách nhóm
Sắp xếp các phương trình để bạn có thể lấy nhân tử chung lớn nhất của cả số hạng thứ nhất và thứ hai. Nhóm các yếu tố phải giống nhau. Thêm Nhân tố chung Lớn nhất và đặt nó trong ngoặc đơn bên cạnh nhóm nhân tố; kết quả là hai yếu tố của bạn:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Phương pháp 3/6: Chơi ba lần
Tương tự như phương pháp phân tích, phương pháp chơi bộ ba kiểm tra các yếu tố có thể nhân các số hạng a và c và sử dụng giá trị của b. Hãy thử sử dụng phương trình ví dụ này:
8x2 + 10x + 2
Bước 1. Nhân số hạng a với số hạng c
Giống như phương pháp phân tích cú pháp, điều này sẽ giúp chúng ta xác định các ứng cử viên cho thuật ngữ b. Trong ví dụ này, a là 8 và c là 2.
8 * 2 = 16
Bước 2. Tìm hai số mà khi nhân với các số sẽ tạo ra số này có tổng bằng số hạng b
Bước này cũng giống như phân tích cú pháp - chúng tôi kiểm tra và loại bỏ các ứng cử viên cho hằng số. Tích của các số hạng a và c là 16, và số hạng c là 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Bước 3. Lấy hai con số này và kiểm tra chúng bằng cách cắm chúng vào công thức chơi bộ ba
Lấy hai số của chúng ta ở bước trước - hãy gọi chúng là h và k - và đưa chúng vào phương trình:
((ax + h) (ax + k)) / a
Chúng ta sẽ lấy:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Bước 4. Để ý xem có số hạng nào trong hai tử số chia hết cho a không
Trong ví dụ này, chúng ta đã thấy nếu (8x + 8) hoặc (8x + 2) chia hết cho 8. (8x + 8) chia hết cho 8, vì vậy chúng ta sẽ chia số hạng này cho a và để nguyên các thừa số khác.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Số hạng trong ngoặc ở đây là số còn lại sau khi chúng ta chia cho số hạng a.
Bước 5. Lấy hệ số chung lớn nhất (GCF) của một hoặc cả hai thuật ngữ, nếu có
Trong ví dụ này, số hạng thứ hai, có GCF là 2, bởi vì 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kết hợp kết quả này với thuật ngữ bạn nhận được từ bước trước. Đây là những yếu tố trong phương trình của bạn.
2 (x + 1) (4x + 1)
Phương pháp 4/6: Sự khác biệt của các gốc hình vuông
Một số hệ số trong đa thức có thể là 'bình phương' hoặc tích của hai số. Việc xác định các ô vuông này cho phép bạn nhân tử nhiều đa thức nhanh hơn. Hãy thử phương trình này:
27x2 - 12 = 0
Bước 1. Lấy ra nhân tử chung lớn nhất nếu có thể
Trong trường hợp này, chúng ta có thể thấy rằng 27 và 12 chia hết cho 3, vì vậy chúng ta nhận được:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Bước 2. Xác định xem các hệ số của phương trình của bạn có phải là số bình phương hay không
Để sử dụng phương pháp này, bạn phải có khả năng lấy căn bậc hai của cả hai số hạng. (Lưu ý rằng chúng ta sẽ bỏ qua dấu âm - vì những con số này là bình phương chúng có thể là tích của hai số dương hoặc âm)
9x2 = 3x * 3x và 4 = 2 * 2
Bước 3. Sử dụng căn bậc hai mà bạn có được, hãy viết ra các thừa số
Chúng ta sẽ lấy các giá trị của a và c từ bước trên - a = 9 và c = 4, sau đó tìm căn bậc hai - a = 3 và c = 2. Kết quả là hệ số của phương trình nhân tử:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Phương pháp 5/6: Công thức bậc hai
Nếu vẫn thất bại và không thể tính toàn bộ phương trình, hãy sử dụng công thức bậc hai. Hãy thử ví dụ sau:
NS2 + 4x + 1 = 0
Bước 1. Nhập các giá trị cần thiết vào công thức bậc hai:
x = -b ± (b2 - 4ac)
2a
Chúng tôi nhận được phương trình:
x = -4 ± (42 - 4•1•1) / 2
Bước 2. Tìm giá trị của x
Bạn sẽ nhận được hai giá trị. Như được hiển thị ở trên, chúng tôi nhận được hai câu trả lời:
x = -2 + (3) hoặc x = -2 - (3)
Bước 3. Sử dụng giá trị x của bạn để tìm các thừa số
Cắm các giá trị x bạn có vào hai phương trình đa thức dưới dạng hằng số. Kết quả là do yếu tố của bạn. Nếu chúng ta gọi câu trả lời là h và k, chúng ta viết ra hai yếu tố như sau:
(x - h) (x - k)
Trong ví dụ này, câu trả lời cuối cùng của chúng tôi là:
(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))
Phương pháp 6/6: Sử dụng Máy tính
Nếu bạn được phép sử dụng máy tính, máy tính vẽ đồ thị sẽ giúp quá trình tính toán dễ dàng hơn rất nhiều, đặc biệt là đối với các bài kiểm tra tiêu chuẩn. Các hướng dẫn này dành cho máy tính vẽ đồ thị TI. Chúng tôi sẽ sử dụng một phương trình ví dụ:
y = x2 x 2
Bước 1. Nhập phương trình của bạn vào máy tính
Bạn sẽ sử dụng tính toán của phương trình, được viết [Y =] trên màn hình.
Bước 2. Vẽ đồ thị phương trình của bạn bằng máy tính
Khi bạn đã nhập phương trình của mình, hãy nhấn [GRAPH] - bạn sẽ thấy một đường cong trơn đại diện cho phương trình của bạn (và hình dạng là một đường cong vì chúng ta đang sử dụng đa thức).
Bước 3. Tìm vị trí mà đường cong giao với trục x
Vì phương trình đa thức thường được viết dưới dạng ax2 + bx + c = 0, giao điểm này là giá trị thứ hai của x khiến phương trình bằng không:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Nếu bạn không thể xác định nơi biểu đồ giao với trục x bằng cách nhìn vào nó, hãy nhấn [2nd] rồi nhấn [TRACE]. Nhấn [2] hoặc chọn không. Di chuyển con trỏ sang bên trái của giao lộ và nhấn [ENTER]. Di chuyển con trỏ sang bên phải của giao lộ và nhấn [ENTER]. Di chuyển con trỏ đến gần giao lộ nhất có thể và nhấn [ENTER]. Máy tính sẽ tìm giá trị của x. Làm điều này cho các giao lộ khác
Bước 4. Cắm giá trị x thu được từ bước trước vào phương trình hai giai thừa
Nếu chúng ta đặt tên cho cả hai giá trị x là h và k, các phương trình chúng ta sẽ sử dụng sẽ là:
(x - h) (x - k) = 0
Do đó, hai yếu tố của chúng tôi là:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Lời khuyên
- Nếu bạn có máy tính TI-84 (đồ thị), có một chương trình tên là SOLVER sẽ giải các phương trình bậc hai của bạn. Chương trình này sẽ giải quyết các đa thức ở bất kỳ mức độ nào.
- Nếu một số hạng không được viết, hệ số là 0. Sẽ rất hữu ích nếu viết lại phương trình nếu trường hợp này xảy ra, ví dụ: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Nếu bạn đã tính đa thức bằng công thức bậc hai và nhận được câu trả lời về căn, bạn có thể muốn chuyển giá trị của x thành một phân số để kiểm tra.
- Nếu một số hạng không có hệ số được viết, hệ số là 1, ví dụ: x2 = 1x2.
- Sau khi thực hành đủ, cuối cùng bạn sẽ có thể nhân các đa thức trong đầu. Cho đến khi bạn có thể làm được, hãy đảm bảo luôn viết ra cách thực hiện.
