Trong toán học, bao thanh toán là một cách tìm kiếm các số hoặc biểu thức mà khi nhân lên sẽ tạo ra một số hoặc phương trình nhất định. Bao thanh toán là một kỹ năng hữu ích để học cách giải các bài toán đại số đơn giản; khả năng nhân tử tốt trở nên quan trọng khi xử lý phương trình bậc hai và các dạng đa thức khác. Bao thanh toán có thể được sử dụng để đơn giản hóa các biểu thức đại số để làm cho các giải pháp của chúng dễ dàng hơn. Bao thanh toán thậm chí có thể cung cấp cho bạn khả năng loại bỏ một số câu trả lời có thể xảy ra, nhanh hơn nhiều so với việc giải chúng theo cách thủ công.
Bươc chân
Phương pháp 1 trong 3: Tính toán các số và biểu thức đại số đơn giản
Bước 1. Hiểu định nghĩa của bao thừa khi áp dụng cho các số đơn
Bao thanh toán là một khái niệm đơn giản, nhưng trong thực tế, nó có thể khó khăn khi áp dụng cho các phương trình phức tạp. Do đó, cách dễ nhất là tiếp cận khái niệm bao thanh toán bằng cách bắt đầu với các số đơn giản, sau đó tiến tới các phương trình đơn giản, trước khi chuyển sang các ứng dụng phức tạp hơn. Thừa số của một số là số khi nhân lên sẽ tạo ra số. Ví dụ, các thừa số của 12 là 1, 12, 2, 6, 3 và 4, vì 1 × 12, 2 × 6 và 3 × 4 đều bằng 12.
- Một cách khác để nghĩ về nó là các thừa số của một số là những số có thể chia đều cho một số.
-
Bạn có thể tìm tất cả các thừa số của số 60? Chúng ta sử dụng số 60 cho nhiều mục đích khác nhau (phút trong một giờ, giây trong một phút, v.v.) vì nó có thể chia hết cho khá nhiều số khác.
Các hệ số của 60 là 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 và 60
Bước 2. Hiểu rằng các biểu thức biến cũng có thể được tính theo nhân tử
Cũng giống như bản thân các số có thể được tính thừa số, các biến có hệ số số cũng có thể được tính thừa số. Để làm điều này, chỉ cần tìm các yếu tố của hệ số biến. Biết cách tính nhân tử của một biến rất hữu ích để đơn giản hóa các phương trình đại số liên quan đến biến đó.
-
Ví dụ, biến 12x có thể được viết dưới dạng tích của các thừa số 12 và x. Chúng ta có thể viết 12x dưới dạng 3 (4x), 2 (6x), v.v., sử dụng bất kỳ hệ số nào trong số 12 phù hợp nhất cho mục đích của chúng ta.
Chúng tôi thậm chí có thể nhân tố 12 lần nhiều lần. Nói cách khác, chúng ta không cần phải dừng lại ở 3 (4x) hoặc 2 (6x) - chúng ta có thể nhân tử 4x và 6x để tạo ra 3 (2 (2x) và 2 (3 (2x)). Tất nhiên, hai biểu thức này là tương đương
Bước 3. Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân vào phân thức đại số nhân tử
Sử dụng kiến thức của bạn về cách nhân tử cả số đơn và biến với hệ số, bạn có thể đơn giản hóa các phương trình đại số đơn giản bằng cách tìm các thừa số mà số và biến có chung trong phương trình đại số. Thông thường, để đơn giản hóa một phương trình, chúng ta cố gắng tìm nhân tử chung lớn nhất. Quá trình đơn giản hóa này có thể thực hiện được vì thuộc tính phân phối của phép nhân, áp dụng cho bất kỳ số a, b và c nào. a (b + c) = ab + ac.
- Hãy thử một câu hỏi ví dụ. Để phân tích nhân tử của phương trình đại số 12x + 6, trước tiên, chúng ta hãy cố gắng tìm nhân tử chung lớn nhất của 12x và 6. 6 là số lớn nhất có thể chia đều 12x và 6, vì vậy chúng ta có thể đơn giản hóa phương trình thành 6 (2x + 1).
- Quá trình này cũng áp dụng cho các phương trình với số âm và phân số. Ví dụ: x / 2 + 4, có thể được đơn giản hóa thành 1/2 (x + 8) và -7x + -21 có thể được tính thành -7 (x + 3).
Phương pháp 2/3: Tính phương trình bậc hai
Bước 1. Đảm bảo rằng phương trình ở dạng bậc hai (ax2 + bx + c = 0).
Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0, trong đó a, b và c là các hằng số và không bằng 0 (lưu ý rằng a có thể bằng 1 hoặc -1). Nếu bạn có một phương trình có một biến (x) có một số hạng x thành lũy thừa của hai hoặc nhiều hơn, bạn thường chuyển các số hạng này trong phương trình bằng các phép toán đại số đơn giản để nhận 0 ở hai bên của dấu bằng và ax.2, Vân vân. Mặt khác.
- Ví dụ, hãy nghĩ về một phương trình đại số. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 có thể được đơn giản hóa thành x2 + 6x + 9 = 0, là dạng bình phương.
- Phương trình có lũy thừa lớn hơn của x, chẳng hạn như x3, NS4, Vân vân. không phải là phương trình bậc hai. Các phương trình này là phương trình bậc ba, đến lũy thừa thứ tư, v.v., trừ khi phương trình có thể được đơn giản hóa để loại bỏ các số hạng x có lũy thừa lớn hơn 2.
Bước 2. Trong phương trình bậc hai, trong đó a = 1, nhân tử thành (x + d) (x + e), trong đó d × e = c và d + e = b
Nếu phương trình bậc hai của bạn có dạng x2 + bx + c = 0 (nói cách khác, nếu hệ số của số hạng x2 = 1), có thể (nhưng không đảm bảo) rằng một phương pháp viết tắt khá dễ dàng có thể được sử dụng để tính nhân tử cho phương trình. Tìm hai số mà khi nhân lên ta được c và cộng lại để sản xuất b. Sau khi bạn đã tìm kiếm hai số d và e này, hãy đặt chúng vào biểu thức sau: (x + d) (x + e). Hai số hạng này, khi nhân lên, sẽ cho bạn phương trình bậc hai - nói cách khác, chúng là nhân tử của phương trình bậc hai của bạn.
- Ví dụ, hãy nghĩ về phương trình bậc hai x2 + 5x + 6 = 0. 3 và 2 được nhân với 6 và cũng được cộng với 5, vì vậy chúng ta có thể đơn giản hóa phương trình này thành (x + 3) (x + 2).
-
Sự khác biệt nhỏ trong phương pháp tốc ký cơ bản này nằm ở sự khác biệt về những điểm giống nhau:
- Nếu phương trình bậc hai có dạng x2-bx + c, câu trả lời của bạn ở dạng sau: (x - _) (x - _).
- Nếu phương trình có dạng x2+ bx + c, câu trả lời của bạn có dạng như sau: (x + _) (x + _).
- Nếu phương trình có dạng x2-bx-c, câu trả lời của bạn có dạng (x + _) (x - _).
- Lưu ý: các số trong ô trống có thể là phân số hoặc số thập phân. Ví dụ, phương trình x2 + (21/2) x + 5 = 0 được tính thành (x + 10) (x + 1/2).
Bước 3. Nếu có thể, hãy kiểm tra
Tin hay không tùy bạn, đối với phương trình bậc hai không phức tạp, một trong những phương pháp tính thừa được phép là kiểm tra vấn đề, sau đó xem xét các câu trả lời có thể cho đến khi bạn tìm ra câu trả lời chính xác. Phương pháp này còn được gọi là bao thanh toán thông qua kiểm tra. Nếu phương trình ở dạng ax2+ bx + c và a> 1, câu trả lời thừa số của bạn có dạng (dx +/- _) (ví dụ +/- _), trong đó d và e là các hằng số khác nhau mà khi nhân lên sẽ cho a. Cả d và e (hoặc cả hai) đều không thể là 1, mặc dù nó không nhất thiết phải như vậy. Nếu cả hai đều là 1, về cơ bản bạn đang sử dụng phương pháp viết tắt được mô tả ở trên.
Hãy nghĩ về một vấn đề ví dụ. 3x2 - 8x + 4 thoạt nhìn có vẻ khó. Tuy nhiên, một khi chúng ta nhận ra rằng 3 chỉ có hai thừa số (3 và 1), thì phương trình này sẽ trở nên dễ dàng hơn vì chúng ta biết rằng câu trả lời của chúng ta phải có dạng (3x +/- _) (x +/- _). Trong trường hợp này, thêm -2 vào cả hai ô trống sẽ cho câu trả lời đúng. -2 × 3x = -6x và -2 × x = -2x. -6x và -2x cộng lại thành -8x. -2 × -2 = 4, vì vậy chúng ta có thể thấy rằng các số hạng được tính trong dấu ngoặc đơn khi nhân lên sẽ tạo ra phương trình ban đầu.
Bước 4. Giải quyết bằng cách hoàn thành hình vuông
Trong một số trường hợp, phương trình bậc hai có thể được tính toán nhanh chóng và dễ dàng bằng cách sử dụng các đồng dạng đại số đặc biệt. Bất phương trình bậc hai ở dạng x2 + 2x giờ + giờ2 = (x + h)2. Vì vậy, nếu trong phương trình giá trị b của bạn gấp đôi căn bậc hai của giá trị c, thì phương trình của bạn có thể được tính thành (x + (root (c)))2.
Ví dụ, phương trình x2 + 6x + 9 có hình dạng này. 32 là 9 và 3 × 2 là 6. Vì vậy, chúng ta biết rằng dạng nhân tử của phương trình này là (x + 3) (x + 3), hoặc (x + 3)2.
Bước 5. Sử dụng hệ số để giải phương trình bậc hai
Bất kể bạn đã tính nhân tử của phương trình bậc hai như thế nào, một khi phương trình đã được tích, bạn có thể tìm ra các câu trả lời khả thi cho giá trị của x bằng cách làm cho mỗi thừa số bằng 0 và giải chúng. Vì bạn đang tìm giá trị của x làm cho phương trình của bạn bằng 0, nên giá trị của x làm cho bất kỳ hệ số nào bằng 0 là một câu trả lời khả thi cho phương trình bậc hai của bạn.
Hãy quay lại phương trình x2 + 5x + 6 = 0. Phương trình này được tính thành (x + 3) (x + 2) = 0. Nếu một trong hai hệ số bằng 0, tất cả các phương trình đều bằng 0, vì vậy các câu trả lời có thể có của chúng ta cho x là số - một số tạo nên (x + 3) và (x + 2) bằng 0. Các số này lần lượt là -3 và -2.
Bước 6. Kiểm tra câu trả lời của bạn - một số câu trả lời có thể gây hiểu lầm
Khi bạn tìm thấy câu trả lời khả dĩ cho x, hãy cắm chúng lại vào phương trình ban đầu của bạn để xem câu trả lời có đúng không. Đôi khi, các câu trả lời bạn tìm thấy không làm cho phương trình ban đầu bằng 0 khi nhập lại. Chúng tôi gọi câu trả lời này là lệch lạc và bỏ qua nó.
-
Hãy đặt -2 và -3 thành x2 + 5x + 6 = 0. Đầu tiên, -2:
- (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
- 4 + -10 + 6 = 0
- 0 = 0. Câu trả lời này đúng nên -2 là câu trả lời đúng.
-
Bây giờ, hãy thử -3:
- (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
- 9 + -15 + 6 = 0
- 0 = 0. Câu trả lời này cũng đúng nên -3 là câu trả lời đúng.
Phương pháp 3/3: Tính các phương trình khác
Bước 1. Nếu phương trình được biểu diễn dưới dạng a2-NS2, thừa số thành (a + b) (a-b).
Phương trình hai biến có thừa số khác với phương trình bậc hai cơ bản. Đối với phương trình a2-NS2 Bất cứ điều gì mà a và b không bằng 0, các thừa số của phương trình là (a + b) (a-b).
Ví dụ, phương trình 9x2 - 4 năm2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
Bước 2. Nếu phương trình được biểu diễn dưới dạng a2+ 2ab + b2, thừa số thành (a + b)2.
Lưu ý rằng, nếu tam thức có dạng a2-2ab + b2, các hệ số dạng hơi khác một chút: (a-b)2.
4x. Phương trình2 + 8xy + 4y2 có thể được viết lại thành 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Bây giờ, chúng ta có thể thấy rằng dạng đúng, vì vậy chúng ta có thể chắc chắn rằng các thừa số của phương trình của chúng ta là (2x + 2y)2
Bước 3. Nếu phương trình được biểu diễn dưới dạng a3-NS3, thừa số thành (a-b) (a2+ ab + b2).
Cuối cùng, người ta đã đề cập rằng các phương trình bậc ba và thậm chí các lũy thừa cao hơn, có thể được tính nhân tử, mặc dù quá trình tính nhân tử nhanh chóng trở nên rất phức tạp.
Ví dụ: 8x3 - 27 năm3 nhân tử thành (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)
Lời khuyên
- Một2-NS2 có thể được tính toán, một2+ b2 không thể được tính.
- Hãy nhớ cách tính một hằng số. Điều này có thể giúp.
- Hãy cẩn thận với các phân số trong quá trình bao thanh toán và làm việc với các phân số một cách chính xác và cẩn thận.
- Nếu bạn có một tam thức có dạng x2+ bx + (b / 2)2, hệ số dạng là (x + (b / 2))2. (Bạn có thể gặp trường hợp này khi hoàn thành hình vuông.)
- Hãy nhớ rằng a0 = 0 (tính chất của tích số không).
