Trong một "hệ phương trình", bạn được yêu cầu giải hai hoặc nhiều phương trình đồng thời. Khi hai phương trình có hai biến khác nhau, ví dụ x và y, thì lúc đầu, giải pháp có vẻ khó khăn. May mắn thay, một khi bạn biết mình cần phải làm gì, bạn có thể chỉ cần sử dụng các kỹ năng đại số của mình (và khoa học về tính toán phân số) để giải quyết vấn đề. Đồng thời học cách vẽ hai phương trình này nếu bạn là người học trực quan hoặc được giáo viên yêu cầu. Bản vẽ sẽ giúp bạn xác định chủ đề hoặc kiểm tra kết quả công việc của bạn. Tuy nhiên, phương pháp này chậm hơn các phương pháp khác và không thể sử dụng cho tất cả các hệ phương trình.
Bươc chân
Phương pháp 1/3: Sử dụng phương pháp thay thế
Bước 1. Chuyển các biến về phía đối diện của phương trình
Phương pháp thay thế bắt đầu bằng cách “tìm giá trị của x” (hoặc bất kỳ biến nào khác) trong một trong các phương trình. Ví dụ, giả sử phương trình của bài toán là 4x + 2y = 8 và 5x + 3y = 9. Bắt đầu bằng cách làm việc với phương trình đầu tiên. Sắp xếp lại phương trình bằng cách trừ 2y trên cả hai vế. Do đó, bạn nhận được 4x = 8 - 2 năm.
Phương pháp này thường sử dụng phân số ở cuối. Nếu bạn không thích đếm phân số, hãy thử phương pháp loại trừ dưới đây
Bước 2. Chia cả hai vế của phương trình để "tìm giá trị của x"
Khi thuật ngữ x (hoặc bất kỳ biến nào bạn đang sử dụng) chỉ nằm ở một bên của phương trình, hãy chia cả hai vế của phương trình cho các hệ số sao cho chỉ còn lại biến. Như một ví dụ:
- 4x = 8 - 2 năm
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- x = 2 - y
Bước 3. Cắm giá trị x từ phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai
Đảm bảo bạn cắm nó vào phương trình thứ hai, thay vì phương trình bạn vừa làm. Thay thế (thay thế) biến x trong phương trình thứ hai. Do đó, phương trình thứ hai bây giờ chỉ có một biến. Như một ví dụ:
- Đã được biết đến x = 2 - y.
- Phương trình thứ hai của bạn là 5x + 3y = 9.
- Sau khi hoán đổi biến x trong phương trình thứ hai với giá trị x từ phương trình thứ nhất, chúng ta nhận được "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Bước 4. Giải các biến còn lại
Bây giờ, phương trình của bạn chỉ có một biến. Tính phương trình với các phép toán đại số thông thường để tìm giá trị của biến số. Nếu hai biến triệt tiêu lẫn nhau, hãy chuyển thẳng đến bước cuối cùng. Nếu không, bạn sẽ nhận được giá trị cho một trong các biến:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Nếu bạn không hiểu bước này, hãy học cách cộng phân số.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Bước 5. Sử dụng câu trả lời thu được để tìm giá trị thực của x trong phương trình đầu tiên
Đừng dừng lại chỉ vì tính toán của bạn vẫn chưa được thực hiện. Bạn phải cắm câu trả lời thu được vào phương trình đầu tiên để tìm giá trị của các biến còn lại:
- Đã được biết đến y = -2
- Một trong những phương trình trong phương trình đầu tiên là 4x + 2y = 8. (Bạn có thể sử dụng một trong hai.)
- Thay biến y bằng -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Bước 6. Biết phải làm gì nếu hai biến triệt tiêu lẫn nhau
Khi bạn nhập x = 3y + 2 hoặc một câu trả lời tương tự cho phương trình thứ hai, nghĩa là bạn đang cố tìm một phương trình chỉ có một biến. Đôi khi, bạn chỉ nhận được phương trình không có Biến đổi. Kiểm tra kỹ công việc của bạn và đảm bảo rằng bạn đã đặt (được sắp xếp lại) phương trình một vào phương trình hai, thay vì quay lại phương trình đầu tiên. Khi bạn chắc chắn rằng mình không làm gì sai, hãy viết một trong các kết quả sau:
- Nếu phương trình không có biến và không đúng (ví dụ: 3 = 5), bài toán này không có câu trả lời. (Khi điều này được vẽ bằng đồ thị, hai phương trình này song song và không bao giờ gặp nhau.)
- Nếu phương trình không có biến và Chính xác, (ví dụ: 3 = 3), nghĩa là câu hỏi có câu trả lời không giới hạn. Phương trình một hoàn toàn giống phương trình hai. (Khi vẽ đồ thị, hai phương trình này nằm trên cùng một đường thẳng.)
Phương pháp 2/3: Sử dụng phương pháp loại bỏ
Bước 1. Tìm các biến loại trừ lẫn nhau
Đôi khi, phương trình trong bài toán đã hủy lẫn nhau khi cộng lại. Ví dụ, nếu bạn làm phương trình 3x + 2y = 11 và 5x - 2y = 13, các hạng tử "+ 2y" và "-2y" sẽ triệt tiêu lẫn nhau và loại biến "y" khỏi phương trình. Nhìn vào phương trình trong bài toán, và xem liệu có các biến loại bỏ lẫn nhau không, như trong ví dụ. Nếu không, hãy tiếp tục bước tiếp theo.
Bước 2. Nhân phương trình với một để loại bỏ một biến
(Bỏ qua bước này nếu các biến đã loại bỏ nhau.) Nếu phương trình không có các biến tự hủy, hãy thay đổi một trong các phương trình để chúng có thể triệt tiêu lẫn nhau. Hãy xem các ví dụ sau để bạn có thể hiểu chúng một cách dễ dàng:
- Các phương trình trong bài toán là 3x - y = 3 và - x + 2y = 4.
- Hãy thay đổi phương trình đầu tiên để biến y triệt tiêu lẫn nhau. (Bạn có thể sử dụng biến NS. Câu trả lời cuối cùng thu được sẽ giống nhau.)
- Biến đổi - y trong phương trình đầu tiên phải được loại bỏ bởi + 2 năm trong phương trình thứ hai. Làm thế nào, nhân lên - y với 2.
- Nhân cả hai vế của phương trình với 2, như sau: 2 (3x - y) = 2 (3), vì thế 6x - 2y = 6. Bây giờ, bộ lạc - 2 năm sẽ hủy bỏ lẫn nhau với + 2 năm trong phương trình thứ hai.
Bước 3. Kết hợp hai phương trình
Bí quyết là thêm vế phải của phương trình thứ nhất vào vế phải của phương trình thứ hai, và thêm vế trái của phương trình thứ nhất vào vế trái của phương trình thứ hai. Nếu thực hiện đúng, một trong các biến sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Hãy thử tiếp tục tính toán từ ví dụ trước:
- Hai phương trình của bạn là 6x - 2y = 6 và - x + 2y = 4.
- Cộng các vế trái của hai phương trình: 6x - 2y - x + 2y =?
- Cộng các vế phải của hai phương trình: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Bước 4. Nhận giá trị biến cuối cùng
Đơn giản hóa phương trình phức hợp của bạn và làm việc với đại số chuẩn để nhận giá trị của biến cuối cùng. Nếu sau khi đơn giản hóa, phương trình không có biến, hãy tiếp tục bước cuối cùng trong phần này.
Nếu không, bạn sẽ nhận được giá trị cho một trong các biến. Như một ví dụ:
- Đã được biết đến 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Nhóm biến NS và y cùng nhau: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Đơn giản hóa phương trình: 5x = 10
- Tìm giá trị x: (5x) / 5 = 10/5, để có được x = 2.
Bước 5. Tìm giá trị của một biến khác
Bạn đã tìm thấy giá trị của một biến, nhưng biến còn lại thì sao? Cắm câu trả lời của bạn vào một trong các phương trình để tìm giá trị của biến còn lại. Như một ví dụ:
- Đã được biết đến x = 2, và một trong những phương trình trong bài toán là 3x - y = 3.
- Thay biến x bằng 2: 3 (2) - y = 3.
- Tìm giá trị của y trong phương trình: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, vì thế 6 = 3 + y
- 3 = y
Bước 6. Biết phải làm gì khi hai biến triệt tiêu lẫn nhau
Đôi khi, kết hợp hai phương trình dẫn đến một phương trình không có ý nghĩa hoặc không giúp bạn giải quyết vấn đề. Xem lại bài làm của bạn và nếu bạn chắc chắn rằng bạn không làm gì sai, hãy viết một trong hai câu trả lời sau:
- Nếu phương trình kết hợp không có biến và không đúng (ví dụ: 2 = 7), vấn đề này không có câu trả lời. Câu trả lời này áp dụng cho cả hai phương trình. (Khi điều này được vẽ bằng đồ thị, hai phương trình này song song và không bao giờ gặp nhau.)
- Nếu phương trình kết hợp không có biến và Chính xác, (ví dụ: 0 = 0), nghĩa là câu hỏi có câu trả lời không giới hạn. Hai phương trình này đồng nhất với nhau. (Khi vẽ đồ thị, hai phương trình này nằm trên cùng một đường thẳng.)
Phương pháp 3/3: Vẽ đồ thị phương trình
Bước 1. Chỉ thực hiện phương pháp này khi được hướng dẫn
Trừ khi bạn đang sử dụng máy tính hoặc máy tính vẽ đồ thị, phương pháp này chỉ có thể cung cấp các câu trả lời gần đúng. Giáo viên hoặc sách giáo khoa của bạn có thể yêu cầu bạn sử dụng phương pháp này để có thói quen vẽ phương trình dưới dạng đường thẳng. Phương pháp này cũng có thể được sử dụng để kiểm tra câu trả lời cho một trong các phương pháp trên.
Ý tưởng chính là bạn cần mô tả hai phương trình và tìm giao điểm của chúng. Giá trị của x và y tại giao điểm này là câu trả lời cho bài toán
Bước 2. Tìm giá trị y của cả hai phương trình
Không kết hợp hai phương trình và thay đổi mỗi phương trình để có định dạng là "y = _x + _". Như một ví dụ:
- Phương trình đầu tiên của bạn là 2x + y = 5. Thay đổi thành y = -2x + 5.
- Phương trình đầu tiên của bạn là - 3x + 6y = 0. Thay đổi thành 6y = 3x + 0và đơn giản hóa thành y = x + 0.
- Nếu hai phương trình của bạn hoàn toàn giống nhau, toàn bộ đường thẳng là "giao điểm" của hai phương trình. Viết câu trả lời không giới hạn như một câu trả lời.
Bước 3. Vẽ các trục tọa độ
Vẽ đường thẳng "trục y" và đường "trục x" nằm ngang trên giấy kẻ ô vuông. Bắt đầu từ điểm mà hai trục giao nhau (0, 0), hãy ghi các nhãn số 1, 2, 3, 4, v.v. tuần tự hướng lên trên trục y và trỏ sang phải trên trục x. Sau đó, ghi lại các nhãn số -1, -2, v.v. theo tuần tự trỏ xuống trên trục y và trỏ sang trái trên trục x.
- Nếu bạn không có giấy kẻ ô vuông, hãy sử dụng thước kẻ để đảm bảo khoảng cách giữa mỗi số là hoàn toàn giống nhau.
- Nếu bạn đang sử dụng số lớn hoặc số thập phân, chúng tôi khuyên bạn nên chia tỷ lệ biểu đồ của mình (ví dụ: 10, 20, 30 hoặc 0, 1, 0, 2, 0, 3 thay vì 1, 2, 3).
Bước 4. Vẽ giao điểm y cho mỗi phương trình
Nếu phương trình có dạng y = _x + _, bạn có thể bắt đầu vẽ đồ thị bằng cách tạo điểm mà đường phương trình giao với trục y. Giá trị của y luôn bằng với số cuối cùng trong phương trình.
-
Tiếp tục ví dụ trước, dòng đầu tiên (y = -2x + 5) giao với trục y tại
Bước 5.. dòng thứ hai (y = x + 0) giao với trục y tại 0. (Những điểm này được viết dưới dạng (0, 5) và (0, 0) trên biểu đồ.)
- Nếu có thể, hãy vẽ đường đầu tiên và đường thứ hai bằng bút màu hoặc bút chì khác nhau.
Bước 5. Sử dụng độ dốc để tiếp tục dòng
Ở dạng phương trình y = _x + _, số phía trước của x cho biết "mức độ dốc" của đường. Mỗi khi tăng x lên một, giá trị của y sẽ tăng theo số cấp của độ dốc. Sử dụng thông tin này để tìm các điểm cho mỗi đường trên đồ thị khi x = 1. (Bạn cũng có thể nhập x = 1 vào mỗi phương trình và tìm giá trị của y.)
- Tiếp tục ví dụ trước, dòng y = -2x + 5 có độ dốc là - 2. Tại điểm x = 1, đường thẳng di chuyển xuống cách điểm x = 0. Vẽ đường thẳng nối (0, 5) với (1, 3).
- Hàng y = x + 0 có độ dốc là ½. Tại x = 1, đường di chuyển lái từ điểm x = 0. Vẽ một đoạn thẳng nối (0, 0) với (1,).
- Nếu hai đường có cùng hệ số góc, cả hai sẽ không bao giờ giao nhau. Như vậy, hệ phương trình này không có đáp số. Viết không có câu trả lời như một câu trả lời.
Bước 6. Tiếp tục nối các đường cho đến khi hai đường cắt nhau
Hãy dừng công việc và nhìn vào biểu đồ của bạn. nếu hai đường đã cắt nhau, hãy tiếp tục bước tiếp theo. Nếu không, hãy đưa ra quyết định dựa trên vị trí của hai dòng của bạn:
- Nếu hai đường tiếp cận nhau, hãy tiếp tục nối các chấm của sọc của bạn.
- Nếu hai đường di chuyển ra xa nhau, hãy quay lại và nối các dấu chấm theo hướng ngược nhau, bắt đầu từ x = 1.
- Nếu hai đường thẳng rất xa nhau, hãy thử nhảy qua và nối các điểm xa nhau hơn, ví dụ x = 10.
Bước 7. Tìm câu trả lời tại giao điểm
Sau khi hai đường thẳng cắt nhau, giá trị của x và y tại thời điểm đó chính là đáp án cho vấn đề của bạn. Nếu bạn may mắn, câu trả lời sẽ là một con số nguyên. Ví dụ, trong ví dụ của chúng tôi, hai đường thẳng cắt nhau tại điểm (2, 1) vì vậy câu trả lời là x = 2 và y = 1. Trong một số hệ phương trình, điểm mà đường thẳng giao nhau nằm giữa hai số nguyên và nếu biểu đồ không chính xác lắm, rất khó xác định vị trí các giá trị x và y tại điểm giao nhau. Nếu được phép, bạn có thể viết “x nằm trong khoảng từ 1 đến 2” làm câu trả lời hoặc sử dụng phương pháp thay thế hoặc loại bỏ để tìm câu trả lời.
Lời khuyên
- Bạn có thể kiểm tra bài làm của mình bằng cách cắm các câu trả lời vào phương trình ban đầu. Nếu phương trình trở thành đúng (ví dụ 3 = 3), điều đó có nghĩa là câu trả lời của bạn là đúng.
- Khi sử dụng phương pháp loại trừ, đôi khi bạn phải nhân phương trình với một số âm để các biến triệt tiêu lẫn nhau.
