3 cách tính nhân tử của một tam thức

2024 Tác giả: Jason Gerald | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-15 08:26

Một tam thức là một biểu thức đại số bao gồm ba số hạng. Rất có thể, bạn sẽ bắt đầu học cách tính nhân tử của một tam thức bậc hai, nghĩa là một tam thức được viết dưới dạng ax² + bx + c. Có một số thủ thuật để học, có thể được sử dụng cho nhiều dạng khác nhau của tam thức bậc hai, nhưng bạn sẽ có thể sử dụng chúng tốt hơn và nhanh hơn khi thực hành. Đa thức bậc cao, với các số hạng như x³ hoặc x⁴, không phải lúc nào cũng có thể được giải theo cùng một cách, nhưng bạn thường có thể sử dụng phép tính thừa hoặc phép thay thế đơn giản để biến nó thành một bài toán có thể giải được giống như bất kỳ công thức bậc hai nào khác.

Bươc chân

Phương pháp 1 trong 3: Bao thanh toán x² + bx + c

Bước 1. Tìm hiểu phép nhân PLDT

Bạn có thể đã học cách nhân PLDT hoặc "First, Outside, In, Last" để nhân các biểu thức như (x + 2) (x + 4). Sẽ rất hữu ích nếu biết phép nhân này hoạt động như thế nào trước khi chúng ta tính:

• Nhân các bộ lạc Ngày thứ nhất: (NS+2)(NS+4) = NS² + _

• Nhân các bộ lạc Ngoài: (NS+2) (x +

  Bước 4.) = x²+ 4x + _

• Nhân các bộ lạc Trong: (x +

  Bước 2.)(NS+4) = x²+ 4x + 2x + _

• Nhân các bộ lạc Cuối cùng: (x +

  Bước 2.)(NS

  Bước 4.) = x²+ 4x + 2x

  Bước 8.

• Đơn giản hóa: x²+ 4x + 2x + 8 = x²+ 6x + 8

Bước 2. Hiểu về bao thanh toán

Khi bạn nhân hai nhị thức bằng phương pháp PLDT, bạn sẽ nhận được một tam thức (một biểu thức có ba số hạng) ở dạng a x²+ b x + c, trong đó a, b và c là các số bình thường. Nếu bạn bắt đầu với một phương trình có cùng dạng, bạn có thể nhân nó lại thành hai nhị thức.

• Nếu các phương trình không được viết theo thứ tự này, hãy sắp xếp lại các phương trình để chúng có thứ tự này. Ví dụ, viết lại 3x - 10 + x² Trở thành NS² + 3x - 10.
• Vì công suất cao nhất là 2 (x², loại biểu thức này được gọi là bậc hai.

Bước 3. Để trống cho câu trả lời dưới dạng phép nhân PLDT

Còn bây giờ, chỉ cần viết (_ _)(_ _) nơi bạn sẽ viết câu trả lời. Chúng tôi sẽ điền vào nó trong khi làm việc

Không viết + hoặc - giữa các cụm từ trống vì chúng ta chưa biết dấu chính xác

Bước 4. Điền vào các điều khoản đầu tiên

Đối với các bài toán đơn giản, số hạng đầu tiên của tam thức của bạn chỉ là x², các thuật ngữ ở vị trí Đầu tiên luôn là NS và NS. Đây là các thừa số của thuật ngữ x² vì x lần x = x².

• Ví dụ của chúng tôi x² + 3x - 10 bắt đầu bằng x², vì vậy chúng tôi có thể viết:
• (x _) (x _)
• Chúng tôi sẽ giải quyết các vấn đề phức tạp hơn trong phần tiếp theo, bao gồm cả các tam thức bắt đầu bằng các số hạng như 6x² hoặc -x². Trong thời gian chờ đợi, hãy làm theo các câu hỏi mẫu sau.

Bước 5. Sử dụng bao thanh toán để đoán các điều khoản cuối cùng

Nếu bạn quay lại và đọc các bước về cách nhân PLDT, bạn sẽ thấy rằng nhân các số hạng Cuối cùng sẽ tạo ra số hạng cuối cùng trong đa thức (các số hạng không có x). Vì vậy, để thừa số, chúng ta phải tìm hai số mà khi nhân lên sẽ tạo ra số hạng cuối cùng.

• Trong ví dụ của chúng tôi x² + 3x - 10, số hạng cuối là -10.
• Các yếu tố của -10 là gì? Nhân với -10 số nào?
• Có một số khả năng: -1 lần 10, 1 lần -10, -2 lần 5, hoặc 2 lần -5. Viết những cặp này xuống một nơi nào đó để ghi nhớ chúng.
• Đừng thay đổi câu trả lời của chúng tôi. Câu trả lời của chúng tôi vẫn sẽ giống như sau: (x _) (x _).

Bước 6. Kiểm tra các khả năng phù hợp với sản phẩm Bên ngoài và Bên trong

Chúng tôi đã thu hẹp các điều khoản Cuối cùng xuống một vài khả năng. Sử dụng hệ thống thử nghiệm để kiểm tra mọi khả năng, nhân các số hạng Bên ngoài và Bên trong và so sánh tích số với tam thức của chúng ta. Ví dụ:

• Bài toán ban đầu của chúng tôi có thuật ngữ "x" là 3x, vì vậy kết quả kiểm tra của chúng tôi phải khớp với thuật ngữ này.
• Kiểm tra -1 và 10: (x-1) (x + 10). Bên ngoài + Bên trong = 10x - x = 9x. Sai lầm.
• Thử nghiệm 1 và -10: (x + 1) (x-10). -10x + x = -9x. Cái này sai. Trên thực tế, nếu bạn kiểm tra -1 và 10, bạn sẽ thấy rằng 1 và -10 trái ngược với câu trả lời ở trên: -9x thay vì 9x.
• Kiểm tra -2 và 5: (x-2) (x + 5). 5x - 2x = 3x. Kết quả tương ứng với đa thức ban đầu, vì vậy đây là câu trả lời chính xác: (x-2) (x + 5).
• Trong những trường hợp đơn giản như thế này, nếu bạn không có hằng số phía trước thuật ngữ x², bạn có thể sử dụng cách nhanh chóng: chỉ cần cộng hai thừa số và đặt dấu "x" phía sau nó (-2 + 5 → 3x). Tuy nhiên, phương pháp này không hiệu quả đối với những vấn đề phức tạp hơn, vì vậy tốt hơn hết bạn nên nhớ "chặng đường dài" được mô tả ở trên.

Phương pháp 2/3: Tính toán các tam thức phức tạp hơn

Bước 1. Sử dụng tính toán đơn giản để làm cho các vấn đề phức tạp hơn trở nên đơn giản hơn

Ví dụ, bạn phải yếu tố 3x² + 9x - 30. Tìm một số có thể nhân tử cả ba số hạng ("nhân tử chung lớn nhất" hoặc GCF). Trong trường hợp này, GCF là 3:

• 3x² = (3) (x²)
• 9x = (3) (3x)
• -30 = (3)(-10)
• Như vậy, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+ 3x-10). Chúng ta có thể tính ra tam thức mới bằng cách sử dụng các bước trong phần trên. Câu trả lời cuối cùng của chúng tôi sẽ là (3) (x-2) (x + 5).

Bước 2. Tìm kiếm các yếu tố phức tạp hơn

Đôi khi, việc tính thừa số có thể liên quan đến một biến số, hoặc bạn có thể cần thừa số nhiều lần để tìm biểu thức đơn giản nhất có thể. Dưới đây là một số ví dụ:

• 2x²y + 14xy + 24y = (2 năm)(NS² + 7x + 12)
• NS⁴ + 11x³ - 26x² = (NS²)(NS² + 11x - 26)
• -NS² + 6x - 9 = (-1)(NS² - 6x + 9)
• Đừng quên cấu trúc lại tam thức mới, sử dụng các bước trong Phương pháp 1. Kiểm tra bài làm của bạn và tìm ví dụ về các vấn đề tương tự trong các câu hỏi mẫu gần cuối trang này.

Bước 3. Giải bài toán với một số đứng trước x².

Một số tam thức bậc hai không thể thu gọn thuộc dạng bài toán dễ nhất. Học cách giải các bài toán như 3x² + 10x + 8, sau đó tự luyện tập với các câu hỏi mẫu ở cuối trang này:

• Đặt câu trả lời của chúng tôi là: (_ _)(_ _)
• Mỗi số hạng "Đầu tiên" của chúng tôi sẽ có một x và nhân chúng sẽ cho 3x². Chỉ có một khả năng: (3x _) (x _).
• Liệt kê các yếu tố của 8. Tỷ lệ cược là 1 lần 8 hoặc 2 lần 4.
• Kiểm tra khả năng này bằng cách sử dụng các thuật ngữ Bên ngoài và Bên trong. Lưu ý rằng thứ tự của các thừa số là rất quan trọng vì số hạng ngoài được nhân với 3x thay vì x. Hãy thử mọi khả năng cho đến khi bạn nhận được Out + In = 10x (từ bài toán ban đầu):
• (3x + 1) (x + 8) → 24x + x = 25x không
• (3x + 8) (x + 1) → 3x + 8x = 11x không
• (3x + 2) (x + 4) → 12x + 2x = 14x không
• (3x + 4) (x + 2) → 6x + 4x = 10x đúng. Đây là yếu tố chính xác.

Bước 4. Sử dụng phép thay thế cho các tam thức bậc cao hơn

Cuốn sách toán học của bạn có thể làm bạn ngạc nhiên với các phương trình có lũy thừa cao, chẳng hạn như x⁴, ngay cả sau khi bạn sử dụng bao thanh toán đơn giản để giải quyết vấn đề dễ dàng hơn. Hãy thử thay một biến mới để biến nó thành một vấn đề mà bạn biết cách giải quyết. Ví dụ:

• NS⁵+ 13x³+ 36x
• = (x) (x⁴+ 13x²+36)
• Hãy tạo một biến mới. Giả sử y = x² và đưa vào đó:
• (x) (y²+ 13y + 36)
• = (x) (y + 9) (y + 4). Bây giờ, hãy chuyển đổi nó trở lại biến ban đầu:
• = (x) (x²+9) (x²+4)
• = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Phương pháp 3/3: Bao thanh toán các trường hợp đặc biệt

Bước 1. Tìm số nguyên tố

Hãy quan sát xem hằng số trong số hạng thứ nhất hoặc thứ ba của tam thức có phải là số nguyên tố hay không. Một số nguyên tố chỉ chia hết cho chính nó và 1 nên chỉ có thể có một cặp nhân tử.

• Ví dụ, trong x² + 6x + 5, 5 là số nguyên tố nên nhị thức phải có dạng (_ 5) (_ 1).
• Trong bài toán 3x²+ 10x + 8, 3 là số nguyên tố nên nhị thức phải có dạng (3x _) (x _).
• Đối với câu hỏi 3x²+ 4x + 1, cả 3 và 1 đều là số nguyên tố nên nghiệm duy nhất có thể là (3x + 1) (x + 1). (Bạn vẫn nên nhân số này để kiểm tra câu trả lời của mình vì một số biểu thức hoàn toàn không thể tính được - ví dụ: 3x²+ 100x + 1 không có thừa số.)

Bước 2. Tìm xem tam thức có phải là một hình vuông hoàn hảo hay không

Một tam thức bình phương hoàn hảo có thể được tính thành hai nhị thức giống nhau và nhân tử thường được viết là (x + 1)² và không (x + 1) (x + 1). Dưới đây là một số ví dụ có xu hướng xuất hiện trong các câu hỏi:

• NS²+ 2x + 1 = (x + 1)², và x²-2x + 1 = (x-1)²
• NS²+ 4x + 4 = (x + 2)², và x²-4x + 4 = (x-2)²
• NS²+ 6x + 9 = (x + 3)², và x²-6x + 9 = (x-3)²
• Tam thức vuông hoàn hảo ở dạng a x² + bx + c luôn có các số hạng a và c là các bình phương hoàn thiện dương (chẳng hạn như 1, 4, 9, 16, hoặc 25) và một số hạng b (dương hoặc âm) bằng 2 (√a * √c).

Bước 3. Tìm hiểu nếu một vấn đề không có giải pháp

Không phải tất cả các tam thức đều có thể được tính nhân tử. Nếu bạn không thể nhân tử một tam thức bậc hai (ax²+ bx + c), sử dụng công thức bậc hai để tìm câu trả lời. Nếu câu trả lời duy nhất là căn bậc hai của một số âm, không có nghiệm số thực thì bài toán không có thừa số.

Đối với các tam thức không bình phương, hãy sử dụng Tiêu chí Eisenstein, được mô tả trong phần Mẹo

Câu trả lời và câu hỏi mẫu

1. Câu trả lời cho các câu hỏi "bao thanh toán phức tạp".

   Đây là những câu hỏi từ bước "các yếu tố phức tạp hơn". Chúng tôi đã đơn giản hóa các vấn đề thành những vấn đề dễ dàng hơn, vì vậy hãy cố gắng giải quyết chúng bằng cách sử dụng các bước trong phương pháp 1, sau đó kiểm tra công việc của bạn tại đây:

   • (2y) (x² + 7x + 12) = (x + 3) (x + 4)
   • (NS²)(NS² + 11x - 26) = (x + 13) (x-2)
   • (-1) (x² - 6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²

2. Thử các bài toán bao thanh toán phức tạp hơn.

   Những vấn đề này có cùng một hệ số trong mỗi thuật ngữ, điều này phải được tính toán trước. Chặn các ô trống sau dấu bằng để xem câu trả lời để bạn có thể kiểm tra bài làm của mình:

   • 3x³+ 3x²-6x = (3x) (x + 2) (x-1) chặn vào ô trống để xem đáp án
   • -5x³y²+ 30x²y²-25 năm²x = (-5xy ^ 2) (x-5) (x-1)

3. Thực hành sử dụng câu hỏi. Không thể tính những vấn đề này thành phương trình dễ hơn, vì vậy bạn sẽ phải tìm câu trả lời ở dạng (_x + _) (_ x + _) bằng cách sử dụng thử và sai:

   • 2x²+ Khối 3x-5 = (2x + 5) (x-1) để xem câu trả lời
   • 9x²+ 6x + 1 = (3x + 1) (3x + 1) = (3x + 1)² (Gợi ý: Bạn có thể muốn thử nhiều hơn một cặp yếu tố cho 9x.)

   Lời khuyên

   • Nếu bạn không thể tìm ra cách tính nhân tử của một tam thức bậc hai (ax²+ bx + c), bạn có thể sử dụng công thức bậc hai để tìm x.

   • Mặc dù bạn không cần biết cách thực hiện việc này, nhưng bạn có thể sử dụng Tiêu chí Eisenstein để nhanh chóng xác định xem một đa thức không thể được đơn giản hóa và tính nhân tử hay không. Tiêu chí này áp dụng cho bất kỳ đa thức nào nhưng được sử dụng tốt nhất cho các tam thức. Nếu có một số nguyên tố p chia đều hai số hạng cuối và thỏa mãn các điều kiện sau thì đa thức không thể đơn giản hóa:

     • Số hạng không đổi (không có biến) là bội số của p nhưng không phải bội số của p².
     • Tiền tố (ví dụ: a in ax²+ bx + c) không phải là bội số của p.
     • Ví dụ: 14x² + 45x +51 không thể đơn giản hóa vì có một số nguyên tố (3) có thể chia hết cho cả 45 và 51, nhưng không chia hết cho 14 và 51 không chia hết cho 3².

   Cảnh báo

   Mặc dù điều này đúng với tam thức bậc hai, nhưng tam thức có thể được tính nhân tử không nhất thiết phải là tích của hai nhị thức. Ví dụ, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).