Trong phép tính đạo hàm, điểm uốn là điểm trên đường cong mà tại đó đường cong đổi dấu (từ dương sang âm hoặc từ âm sang dương). Nó được sử dụng trong nhiều môn học, bao gồm kỹ thuật, kinh tế và thống kê, để xác định những thay đổi cơ bản trong dữ liệu. Nếu bạn cần tìm điểm uốn của đường cong, hãy chuyển đến Bước 1.
Bươc chân
Phương pháp 1 trong 3: Tìm hiểu các điểm chuyển động
Bước 1. Tìm hiểu hàm lõm
Để hiểu được điểm uốn, bạn cần phân biệt giữa hàm lõm và hàm lồi. Hàm số lõm là hàm số mà đoạn thẳng nối hai điểm trên đồ thị không bao giờ nằm trên đồ thị.
Bước 2. Tìm hiểu hàm lồi
Một hàm lồi về cơ bản là ngược lại với một hàm lồi: nghĩa là, một hàm trong đó đường thẳng nối hai điểm trên đồ thị không bao giờ nằm dưới đồ thị.
Bước 3. Hiểu những điều cơ bản về một hàm
Cơ sở của một hàm là điểm mà hàm đó bằng không.
Nếu bạn định vẽ đồ thị một hàm số, thì các cơ sở là các điểm mà hàm số đó giao với trục x
Phương pháp 2/3: Tìm đạo hàm của một hàm số
Bước 1. Tìm đạo hàm đầu tiên của hàm số của bạn
Trước khi bạn có thể tìm thấy điểm uốn, bạn phải tìm đạo hàm của hàm số của bạn. Đạo hàm của hàm cơ bản có thể được tìm thấy trong bất kỳ cuốn sách giải tích nào; Bạn cần học chúng trước khi có thể chuyển sang những công việc phức tạp hơn. Đạo hàm cấp một được viết là f '(x). Đối với biểu thức đa thức có dạng axp + bx (p − 1) + cx + d, đạo hàm bậc nhất là apx (p − 1) + b (p 1) x (p − 2) + c.
-
Để minh họa, giả sử bạn phải tìm điểm uốn của hàm f (x) = x3 + 2x − 1. Tính đạo hàm cấp một của hàm số như sau:
f (x) = (x3 + 2x 1) ′ = (x3) ′ + (2x) ′ (1) ′ = 3x2 + 2 + 0 = 3x2 + 2
Bước 2. Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số của bạn
Đạo hàm cấp hai là đạo hàm cấp một của đạo hàm cấp một của hàm số, được viết dưới dạng f (x).
-
Trong ví dụ trên, việc tính đạo hàm cấp hai của hàm sẽ như sau:
f (x) = (3x2 + 2) ′ = 2 × 3 × x + 0 = 6x
Bước 3. Lập đạo hàm cấp hai bằng không
Đặt đạo hàm cấp hai của bạn bằng 0 và giải phương trình. Câu trả lời của bạn là một điểm uốn có thể xảy ra.
-
Trong ví dụ trên, phép tính của bạn sẽ giống như sau:
f (x) = 0
6x = 0
x = 0
Bước 4. Tìm đạo hàm cấp ba của hàm số của bạn
Để xem liệu câu trả lời của bạn có thực sự là điểm uốn hay không, hãy tìm đạo hàm cấp ba, đạo hàm cấp một của đạo hàm cấp hai của hàm, được viết dưới dạng f (x).
-
Trong ví dụ trên, phép tính của bạn sẽ giống như sau:
f (x) = (6x) ′ = 6
Phương pháp 3/3: Tìm điểm uốn
Bước 1. Kiểm tra đạo hàm thứ ba của bạn
Quy tắc tiêu chuẩn để kiểm tra các điểm uốn có thể có như sau: "Nếu đạo hàm cấp ba không bằng 0, f (x) = / 0, thì điểm uốn có thể thực sự là điểm uốn." Kiểm tra phái sinh thứ ba của bạn. Nếu nó không bằng 0, thì giá trị đó là điểm uốn thực sự.
Trong ví dụ trên, đạo hàm thứ ba của bạn là 6, không phải 0. Do đó, 6 là điểm uốn thực sự
Bước 2. Tìm điểm uốn
Tọa độ của điểm uốn được viết là (x, f (x)), trong đó x là giá trị của biến số tại điểm uốn và f (x) là giá trị hàm tại điểm uốn.
-
Trong ví dụ trên, hãy nhớ rằng khi bạn tính đạo hàm cấp hai, bạn thấy rằng x = 0. Vì vậy, bạn phải tìm f (0) để xác định tọa độ của bạn. Tính toán của bạn sẽ như thế này:
f (0) = 03 + 2 × 0−1 = 1.
Bước 3. Ghi lại tọa độ của bạn
Tọa độ của điểm uốn là giá trị x của bạn và giá trị bạn đã tính ở trên.
