Khoảng cách, thường được cho là biến “s”, là một phép đo không gian là một đường thẳng giữa hai điểm. Khoảng cách có thể đề cập đến không gian giữa hai điểm bất động (ví dụ: chiều cao của một người là khoảng cách từ dưới chân đến đỉnh đầu) hoặc nó có thể đề cập đến không gian giữa vị trí hiện tại của một đối tượng đang chuyển động và vị trí ban đầu mà vật bắt đầu chuyển động. Hầu hết các bài toán về khoảng cách có thể được giải bằng phương trình s = v × t, trong đó s là khoảng cách, v là tốc độ trung bình và t là thời gian, hoặc sử dụng s = ((x2 - NS1)2 + (y2 - y1)2), ở đâu (x1, y1) và (x2, y2) là tọa độ x và y của hai điểm.
Bươc chân
Phương pháp 1/2: Tính khoảng cách với tốc độ và thời gian trung bình
Bước 1. Tìm giá trị tốc độ và thời gian trung bình
Khi cố gắng tính quãng đường mà một đối tượng chuyển động đã đi được, có hai thông tin quan trọng đối với phép tính này: tốc độ, vận tốc (hoặc vận tốc) và thời gian mà vật chuyển động đã đi được. Với thông tin này, có thể tính quãng đường vật đi được bằng công thức s = v × t.
Để hiểu rõ hơn về quá trình sử dụng công thức khoảng cách, chúng ta hãy giải một bài toán ví dụ trong phần này. Giả sử chúng ta đang đi trên một con đường với vận tốc 120 dặm một giờ (khoảng 193 km một giờ) và chúng tôi muốn biết mình sẽ đi được bao xa trong nửa giờ. Sử dụng 120 dặm một giờ là giá trị của vận tốc trung bình và 0,5 giờ là giá trị của thời gian, chúng tôi sẽ giải quyết vấn đề này trong bước tiếp theo.
Bước 2. Nhân tốc độ trung bình với thời gian
Sau khi biết tốc độ trung bình của một vật chuyển động và thời gian vật đi được, việc tính quãng đường vật đi được tương đối dễ dàng. Chỉ cần nhân hai giá trị để tìm câu trả lời.
- Tuy nhiên, lưu ý rằng nếu đơn vị thời gian được sử dụng trong giá trị tốc độ trung bình khác với đơn vị được sử dụng trong giá trị thời gian, bạn sẽ cần phải thay đổi một đơn vị để phù hợp. Ví dụ: nếu chúng tôi có giá trị tốc độ trung bình được đo bằng km trên giờ và giá trị thời gian được đo bằng phút, bạn sẽ cần chia giá trị thời gian cho 60 để chuyển nó thành giờ.
- Hãy kết thúc vấn đề ví dụ của chúng tôi. 120 dặm / giờ × 0,5 giờ = 60 dặm. Lưu ý rằng các đơn vị trong giá trị thời gian (giờ) bỏ qua mẫu số của tốc độ trung bình (giờ) chỉ để lại các đơn vị khoảng cách (dặm).
Bước 3. Thay đổi phương trình để tính một biến khác
Sự đơn giản của phương trình khoảng cách cơ bản (s = v × t) giúp dễ dàng sử dụng phương trình để tìm giá trị của một biến khác với khoảng cách. Chỉ cần cô lập biến bạn muốn tìm theo các quy tắc cơ bản của đại số, sau đó nhập giá trị của hai biến còn lại để tìm giá trị của biến thứ ba. Nói cách khác, để tính vận tốc trung bình của vật thể, hãy sử dụng phương trình v = s / t và để tính thời gian trôi qua của đối tượng, hãy sử dụng phương trình t = s / v.
- Ví dụ, giả sử chúng ta biết rằng một chiếc ô tô đã đi được 60 dặm trong 50 phút, nhưng chúng ta không có giá trị cho vận tốc trung bình khi đối tượng đang chuyển động. Trong trường hợp này, chúng ta có thể tách biến v trong phương trình khoảng cách cơ bản để có v = d / t, sau đó chỉ cần chia 60 dặm / 50 phút để có câu trả lời 1,2 dặm / phút.
- Lưu ý rằng trong ví dụ, câu trả lời cho tốc độ có một đơn vị khác thường (dặm / phút). Để có câu trả lời trong số dặm / giờ phổ biến hơn, hãy nhân với 60 phút / giờ để có kết quả 72 dặm / giờ.
Bước 4. Lưu ý rằng biến “v” trong công thức quãng đường đề cập đến vận tốc trung bình
Điều quan trọng là phải hiểu rằng công thức khoảng cách cơ bản cung cấp một cái nhìn đơn giản về chuyển động của một vật thể. Công thức khoảng cách giả định rằng một vật thể đang chuyển động có một vận tốc không đổi - nói cách khác, nó giả định rằng một vật thể đang chuyển động có một vận tốc duy nhất, không thay đổi. Đối với các vấn đề toán học trừu tượng, chẳng hạn như những vấn đề bạn có thể gặp phải trong môi trường học thuật, đôi khi vẫn có thể mô hình hóa chuyển động của một đối tượng bằng cách sử dụng giả định này. Tuy nhiên, trong thực tế cuộc sống, những ví dụ này thường không phản ánh chính xác chuyển động của các vật thể chuyển động, mà thực tế có thể tăng tốc, giảm tốc độ, dừng lại và đảo ngược theo thời gian.
- Ví dụ, trong bài toán ví dụ trên, chúng tôi kết luận rằng để đi hết 60 dặm trong 50 phút, chúng tôi cần phải đi với vận tốc 72 dặm một giờ. Tuy nhiên, điều này chỉ đúng nếu di chuyển với một tốc độ trong toàn bộ hành trình. Ví dụ, bằng cách di chuyển với tốc độ 80 dặm / giờ trong nửa hành trình và 64 dặm / giờ cho nửa hành trình còn lại, chúng ta vẫn sẽ đi được 60 dặm trong 50 phút - 72 dặm / giờ = 60 dặm / 50 phút = ?????
- Các giải pháp dựa trên giải tích sử dụng đạo hàm thường là lựa chọn tốt hơn so với các công thức khoảng cách để xác định vận tốc của một đối tượng trong các tình huống thực tế vì có thể thay đổi vận tốc.
Phương pháp 2/2: Tính khoảng cách giữa hai điểm
Bước 1. Tìm tọa độ không gian của hai điểm đó
Điều gì sẽ xảy ra nếu thay vì tính quãng đường mà một vật chuyển động đã đi được, bạn cần tính khoảng cách giữa hai vật thể bất động thì sao? Trong trường hợp như vậy, công thức khoảng cách dựa trên vận tốc được mô tả ở trên sẽ không hoạt động. May mắn thay, các công thức khoảng cách khác nhau có thể được sử dụng để dễ dàng tính khoảng cách đường thẳng giữa hai điểm. Tuy nhiên, để sử dụng công thức này, bạn sẽ cần biết tọa độ của hai điểm. Nếu xử lý khoảng cách một chiều (như trên một đường số), tọa độ sẽ bao gồm hai số, x1 và x2. Nếu bạn đang xử lý khoảng cách theo hai thứ nguyên, bạn sẽ cần hai giá trị (x, y), (x1, y1) và (x2, y2). Cuối cùng, đối với ba thứ nguyên, bạn sẽ cần giá trị (x1, y1, z1) và (x2, y2, z2).
Bước 2. Tính khoảng cách một chiều bằng cách trừ các giá trị tọa độ của hai điểm
Tính khoảng cách một chiều giữa hai điểm khi bạn đã biết giá trị của mỗi điểm rất dễ dàng. Chỉ cần sử dụng công thức s = | x2 - NS1|. Trong công thức này, bạn trừ x1 từ x2, sau đó lấy giá trị tuyệt đối của câu trả lời của bạn để tìm khoảng cách giữa x1 và x2. Thông thường, bạn sẽ muốn sử dụng công thức khoảng cách một chiều khi hai điểm nằm trên một đường thẳng hoặc trục số.
- Lưu ý rằng công thức này sử dụng giá trị tuyệt đối (ký hiệu " | |"). Giá trị tuyệt đối chỉ có nghĩa là giá trị bên trong biểu tượng trở thành dương nếu nó là âm.
-
Ví dụ: giả sử chúng ta dừng lại ở bên đường trên một đường cao tốc hoàn toàn thẳng. Nếu có một thành phố phía trước chúng ta 5 dặm và một thành phố khác phía sau chúng tôi 1 dặm, thì hai thành phố đó cách nhau bao xa? Nếu chúng ta đặt thành phố 1 là x1 = 5 và thành phố 2 là x1 = -1, chúng ta có thể tính s, khoảng cách giữa hai thành phố, theo cách sau:
- s = | x2 - NS1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 dặm.
Bước 3. Tính khoảng cách hai chiều bằng định lý Pitago
Tính khoảng cách giữa hai điểm trong không gian hai chiều phức tạp hơn trong không gian một chiều, nhưng không khó. Chỉ cần sử dụng công thức s = ((x2 - NS1)2 + (y2 - y1)2). Trong công thức này, trừ hai tọa độ x, tính căn bậc hai, trừ hai tọa độ y, tính căn bậc hai, sau đó cộng hai kết quả với nhau và tính căn bậc hai để tìm khoảng cách giữa hai điểm. Công thức này áp dụng cho mặt phẳng hai chiều - ví dụ: trên đồ thị x / y thông thường.
- Công thức khoảng cách hai chiều sử dụng định lý Pitago, trong đó nói rằng độ dài cạnh huyền của tam giác ở bên phải bằng căn bậc hai của bình phương ở hai cạnh còn lại.
- Ví dụ, giả sử chúng ta có hai điểm trong mặt phẳng x-y: (3, -10) và (11, 7), lần lượt biểu diễn tâm của một đường tròn và một điểm trên đường tròn. Để tìm khoảng cách đường thẳng giữa hai điểm, ta có thể tính theo cách sau:
- s = ((x2 - NS1)2 + (y2 - y1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Bước 4. Tính khoảng cách ba chiều bằng cách thay đổi công thức khoảng cách hai chiều
Trong không gian ba chiều, các điểm có tọa độ z ngoài tọa độ x và y. Để tính toán khoảng cách giữa hai điểm trong không gian ba chiều, hãy sử dụng s = ((x2 - NS1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2). Đây là dạng sửa đổi của công thức khoảng cách hai chiều được mô tả ở trên bao gồm tọa độ z. Trừ hai tọa độ z, tính căn bậc hai và tiếp tục với phần còn lại của công thức đảm bảo rằng câu trả lời cuối cùng của bạn sẽ đại diện cho khoảng cách ba chiều giữa hai điểm.
- Ví dụ, giả sử chúng ta là phi hành gia trôi nổi trong không gian giữa hai tiểu hành tinh. Một tiểu hành tinh ở phía trước khoảng 8 km, bên phải 2 km và cách chúng ta 5 km, trong khi tiểu hành tinh còn lại ở phía sau khoảng 3 km, phía bên trái 3 km và cách chúng ta 4 km. Nếu biểu diễn vị trí của hai tiểu hành tinh bằng tọa độ (8, 2, -5) và (-3, -3, 4), chúng ta có thể tính khoảng cách giữa chúng theo cách sau:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
