Mỗi hàm có hai biến, đó là biến độc lập và biến phụ thuộc. Theo nghĩa đen, giá trị của biến phụ thuộc "phụ thuộc" vào biến độc lập. Ví dụ, trong hàm y = f (x) = 2 x + y, x là biến độc lập và y là biến phụ thuộc (nói cách khác, y là một hàm của x). Các giá trị hợp lệ cho biến x đã biết được gọi là "miền gốc". Các giá trị hợp lệ cho biến y đã biết được gọi là "phạm vi kết quả".
Bươc chân
Phần 1/3: Tìm miền của một hàm
Bước 1. Quyết định loại chức năng bạn sẽ thực hiện
Miền của hàm là tất cả các giá trị x (trục hoành) sẽ trả về các giá trị y hợp lệ. Phương trình của hàm có thể là bậc hai, phân số hoặc chứa một căn. Để tính toán miền của hàm, điều đầu tiên bạn phải làm là kiểm tra các biến trong phương trình.
- Hàm số bậc hai có dạng ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Ví dụ về các hàm với phân số bao gồm: f (x) = (1/NS), f (x) = (x + 1)/(x - 1), và những người khác.
- Các hàm có gốc bao gồm: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, v.v.
Bước 2. Viết tên miền với ký hiệu thích hợp
Viết miền của một hàm liên quan đến việc sử dụng dấu ngoặc vuông [,] cũng như dấu ngoặc (,). Sử dụng dấu ngoặc vuông [,] nếu số thuộc miền và sử dụng dấu ngoặc (,) nếu miền không bao gồm số. Chữ cái U biểu thị một liên minh kết nối các phần của miền có thể cách nhau một khoảng cách.
- Ví dụ, miền của [-2, 10) U (10, 2] bao gồm -2 và 2, nhưng không bao gồm số 10.
- Luôn sử dụng dấu ngoặc đơn () nếu bạn đang sử dụng biểu tượng vô cực,.
Bước 3. Vẽ đồ thị của phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai tạo ra một đồ thị parabol mở lên hoặc xuống. Coi rằng parabol sẽ tiếp tục vô cùng trên trục x, miền của hầu hết các phương trình bậc hai là tất cả các số thực. Nói một cách khác, phương trình bậc hai bao gồm tất cả các giá trị x trên trục số, cho miền NS (ký hiệu cho mọi số thực).
- Để giải hàm, hãy chọn bất kỳ giá trị x nào và nhập giá trị đó vào hàm. Giải một hàm với giá trị x sẽ trả về giá trị y. Giá trị của x và y là tọa độ (x, y) của đồ thị hàm số.
- Vẽ các tọa độ này trên đồ thị và lặp lại quá trình với một giá trị x khác.
- Vẽ một số giá trị trong mô hình này sẽ cho bạn cái nhìn tổng quan về hình dạng của hàm bậc hai.
Bước 4. Nếu phương trình của hàm số là phân số thì mẫu số bằng không
Khi làm việc với phân số, bạn không bao giờ có thể chia hết cho số không. Bằng cách làm cho mẫu số bằng 0 và tìm giá trị của x, bạn có thể tính các giá trị cần trích xuất từ hàm.
- Ví dụ: Xác định miền của hàm f (x) = (x + 1)/(x - 1).
- Mẫu số của hàm số là (x - 1).
- Quy đồng mẫu số bằng 0 và tính giá trị của x: x - 1 = 0, x = 1.
- Viết ra miền: Miền của hàm không bao gồm 1, nhưng bao gồm tất cả các số thực trừ 1; do đó, miền là (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) có thể được đọc như một tập hợp của tất cả các số thực ngoại trừ 1. Biểu tượng cho vô cùng, đại diện cho tất cả các số thực. Trong trường hợp này, tất cả các số thực lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1 đều được đưa vào miền.
Bước 5. Nếu phương trình là một hàm gốc, hãy làm cho các biến gốc lớn hơn hoặc bằng không
Bạn không thể sử dụng căn bậc hai của một số âm; do đó, bất kỳ giá trị x nào dẫn đến một số âm phải bị xóa khỏi miền của hàm.
- Ví dụ: Tìm miền của hàm f (x) = (x + 3).
- Các biến trong gốc là (x + 3).
- Làm cho giá trị lớn hơn hoặc bằng không: (x + 3) 0.
- Tính giá trị của x: x -3. Giải tìm x: x -3.
- Miền của hàm bao gồm tất cả các số thực lớn hơn hoặc bằng -3; do đó, miền là [-3,).
Phần 2/3: Tìm phạm vi của phương trình bậc hai
Bước 1. Hãy chắc chắn rằng bạn có một hàm bậc hai
Hàm số bậc hai có dạng ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol mở lên hoặc quay xuống. Có nhiều cách khác nhau để tính toán phạm vi của hàm tùy thuộc vào loại hàm bạn đang làm việc.
Cách dễ nhất để xác định phạm vi của các hàm khác, chẳng hạn như hàm gốc hoặc hàm phân số, là vẽ đồ thị của hàm bằng máy tính vẽ đồ thị
Bước 2. Tìm giá trị x của đỉnh của hàm số
Đỉnh của hàm số bậc hai là đỉnh của parabol. Hãy nhớ rằng, dạng của hàm số bậc hai là ax2 + bx + c. Để tìm tọa độ x, sử dụng phương trình x = -b / 2a. Phương trình là một đạo hàm của một hàm số bậc hai cơ bản biểu diễn một phương trình có hệ số góc / độ dốc bằng không (tại đỉnh của đồ thị, gradient của hàm số bằng 0).
- Ví dụ, tìm phạm vi của 3x2 + 6x -2.
- Tính tọa độ x của đỉnh: x = -b / 2a = -6 / (2 * 3) = -1
Bước 3. Tính giá trị y của đỉnh của hàm số
Cắm tọa độ x vào hàm để tính giá trị y tương ứng của đỉnh. Giá trị y này cho biết giới hạn phạm vi của hàm.
- Tính tọa độ y: y = 3x2 + 6x - 2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Đỉnh của hàm này là (-1, -5).
Bước 4. Xác định hướng của parabol bằng cách cắm thêm ít nhất một giá trị x
Chọn bất kỳ giá trị x nào khác và cắm nó vào hàm để tính giá trị y thích hợp. Nếu giá trị y nằm trên đỉnh, parabol tiếp tục + ∞. Nếu giá trị y nằm dưới đỉnh, parabol sẽ tiếp tục đến -∞.
- Sử dụng giá trị x -2: y = 3x2 + 6x - 2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Phép tính này trả về tọa độ (-2, -2).
- Các tọa độ này cho bạn thấy rằng parabol tiếp tục phía trên đỉnh (-1, -5); do đó, phạm vi bao gồm tất cả các giá trị y cao hơn -5.
- Phạm vi của hàm này là [-5,).
Bước 5. Viết ra phạm vi với ký hiệu thích hợp
Giống như các miền, các phạm vi được viết với cùng một ký hiệu. Sử dụng dấu ngoặc vuông [,] nếu số nằm trong phạm vi và sử dụng dấu ngoặc vuông (,) nếu phạm vi không bao gồm số. Chữ U chỉ ra một liên kết kết nối các phần của phạm vi có thể cách nhau một khoảng cách.
- Ví dụ, phạm vi của [-2, 10) U (10, 2] bao gồm -2 và 2, nhưng không bao gồm số 10.
- Luôn sử dụng dấu ngoặc đơn nếu bạn sử dụng biểu tượng vô cực,.
Phần 3/3: Tìm Phạm vi từ Đồ thị của một hàm
Bước 1. Vẽ hàm
Thông thường, cách dễ nhất để xác định phạm vi của một hàm là vẽ đồ thị. Nhiều hàm gốc có phạm vi (-∞, 0] hoặc [0, + ∞) vì đỉnh của parabol nằm ngang (parabol nằm ngang) nằm trên trục x nằm ngang. Trong trường hợp này, hàm bao gồm tất cả các giá trị y dương nếu parabol mở ra hoặc tất cả các giá trị y âm nếu parabol mở xuống dưới. Các hàm phân số sẽ có các dấu không triệu chứng (các đường không bao giờ bị cắt bởi một đường thẳng / đường cong nhưng được tiến gần đến vô cùng) xác định phạm vi của hàm.
- Một số hàm gốc sẽ bắt đầu ở trên hoặc dưới trục x. Trong trường hợp này, phạm vi được xác định bởi số mà hàm gốc bắt đầu. Nếu parabol bắt đầu tại y = -4 và đi lên thì phạm vi là [-4, + ∞).
- Cách dễ nhất để vẽ một hàm là sử dụng chương trình vẽ đồ thị hoặc máy tính vẽ đồ thị.
- Nếu bạn không có máy tính vẽ đồ thị, bạn có thể vẽ một bản phác thảo sơ bộ của đồ thị bằng cách cắm giá trị x vào hàm và nhận giá trị y thích hợp. Vẽ các tọa độ này trên biểu đồ để có ý tưởng về biểu đồ trông như thế nào.
Bước 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
Ngay sau khi vẽ hàm, bạn sẽ có thể thấy rõ điểm thấp nhất của đồ thị. Nếu không có giá trị nhỏ nhất rõ ràng, hãy biết rằng một số hàm sẽ tiếp tục ở -∞ (vô cùng).
Một hàm phân số sẽ bao gồm tất cả các điểm ngoại trừ những điểm nằm trong dấu ngoặc kép. Hàm có một phạm vi như (-∞, 6) U (6,)
Bước 3. Xác định giá trị lớn nhất của hàm số
Một lần nữa, sau khi vẽ đồ thị, bạn sẽ có thể xác định được điểm cực đại của hàm số. Một số hàm sẽ tiếp tục tại + ∞ và do đó, sẽ không có giá trị nhỏ nhất.
Bước 4. Viết phạm vi với ký hiệu thích hợp
Giống như các miền, các dải ô được viết với cùng một ký hiệu. Sử dụng dấu ngoặc vuông [,] nếu số nằm trong phạm vi và sử dụng dấu ngoặc vuông (,) nếu phạm vi không bao gồm số. Chữ U chỉ ra một liên kết kết nối các phần của phạm vi có thể cách nhau một khoảng cách.
- Ví dụ, phạm vi của [-2, 10) U (10, 2] bao gồm -2 và 2, nhưng không bao gồm số 10.
- Luôn sử dụng dấu ngoặc đơn nếu bạn sử dụng biểu tượng vô cực,.
