Khi bạn lần đầu tiên tìm thấy phương trình bậc ba (có dạng ax 3 + bx 2 + cx + d = 0), có thể bạn nghĩ rằng bài toán sẽ khó giải. Nhưng hãy biết rằng giải phương trình bậc ba đã thực sự tồn tại hàng thế kỷ! Giải pháp này, được phát hiện bởi các nhà toán học Ý Niccolò Tartaglia và Gerolamo Cardano vào những năm 1500, là một trong những công thức đầu tiên được biết đến ở Hy Lạp và La Mã cổ đại. Giải phương trình bậc ba có thể hơi khó, nhưng với cách tiếp cận đúng (và đủ kiến thức), ngay cả những phương trình bậc ba khó nhất cũng có thể giải được.
Bươc chân
Phương pháp 1/3: Giải bằng phương trình bậc hai
Bước 1. Kiểm tra xem phương trình bậc ba của bạn có hằng số hay không
Như đã nêu ở trên, dạng của phương trình bậc ba là ax 3 + bx 2 + cx + d = 0. b, c và giá trị của d có thể bằng 0 mà không ảnh hưởng đến dạng của phương trình bậc ba này; điều này về cơ bản có nghĩa là phương trình bậc ba không phải lúc nào cũng bao gồm giá trị của bx 2, cx, hoặc d là một phương trình bậc ba. Để bắt đầu sử dụng cách giải phương trình bậc ba khá dễ dàng này, hãy kiểm tra xem phương trình bậc ba của bạn có hằng số (hoặc giá trị của d) hay không. Nếu phương trình của bạn không có hằng số hoặc giá trị của d, thì bạn có thể sử dụng phương trình bậc hai để tìm câu trả lời cho phương trình bậc ba sau một vài bước.
Mặt khác, nếu phương trình của bạn có giá trị không đổi, thì bạn sẽ cần một giải pháp khác. Xem các bước bên dưới để biết các cách tiếp cận khác
Bước 2. Nhân giá trị x từ phương trình bậc ba
Vì phương trình của bạn không có giá trị hằng số, nên tất cả các thành phần trong nó đều có biến x. Điều này có nghĩa là giá trị này của x có thể được lấy ra khỏi phương trình để đơn giản hóa nó. Thực hiện bước này và viết lại phương trình bậc ba của bạn dưới dạng x (ax 2 + bx + c).
Ví dụ, giả sử rằng phương trình bậc ba ban đầu ở đây là 3 x 3 + -2 x 2 + 14 x = 0. Bằng cách tính một biến x từ phương trình này, chúng ta có phương trình x (3 x 2 + -2 x + 14) = 0.
Bước 3. Sử dụng phương trình bậc hai để giải các phương trình trong ngoặc
Bạn có thể nhận thấy rằng một số phương trình mới của bạn, được đặt trong dấu ngoặc đơn, ở dạng phương trình bậc hai (ax 2 + bx + c). Điều này có nghĩa là chúng ta có thể tìm giá trị cần thiết để làm cho phương trình này bằng 0 bằng cách thêm a, b và c vào công thức phương trình bậc hai ({- b +/- √ (b 2- 4 ac)} / 2 a). Thực hiện các phép tính này để tìm hai câu trả lời cho phương trình bậc ba của bạn.
-
Trong ví dụ của chúng tôi, hãy thêm các giá trị của a, b và c (3, -2 và 14, tương ứng) vào phương trình bậc hai như sau:
-
- {- b +/- √ (b 2- 4 ac)} / 2 a
- {-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)
- {2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6
- {2 +/-√ (4 - (168)}/6
- {2 +/-√ (-164)}/6
-
-
Trả lời 1:
-
- {2 + √(-164)}/6
- {2 + 12,8 i} / 6
-
-
Câu trả lời 2:
-
- {2 - 12,8 i} / 6
-
Bước 4. Sử dụng các số không và câu trả lời của bạn cho phương trình bậc hai làm câu trả lời cho phương trình bậc ba của bạn
Phương trình bậc hai sẽ có hai câu trả lời, trong khi phương trình bậc ba có ba câu trả lời. Bạn đã biết hai trong số ba câu trả lời; mà bạn nhận được từ phần "bình phương" của phương trình trong ngoặc. Nếu phương trình bậc ba của bạn có thể được giải bằng cách "thừa số hóa" như thế này, thì câu trả lời thứ ba của bạn hầu như luôn luôn là 0. An toàn! Bạn vừa giải một phương trình bậc ba.
Lý do làm cho phương pháp này hoạt động là thực tế cơ bản rằng "bất kỳ số nào nhân với 0 đều bằng 0". Khi bạn nhân tử phương trình của mình về dạng x (ax 2 + bx + c) = 0, về cơ bản bạn chỉ cần chia nó thành hai "phần"; một phần là biến x ở vế trái và phần kia là phương trình bậc hai trong ngoặc. Nếu một trong hai phần này bằng không, thì toàn bộ phương trình cũng sẽ bằng không. Do đó, hai câu trả lời cho phương trình bậc hai trong ngoặc đơn, sẽ làm cho nó bằng không, là câu trả lời cho phương trình bậc ba, cũng như chính nó bằng 0 - sẽ làm cho phần ở bên trái cũng bằng không.
Phương pháp 2/3: Tìm câu trả lời số nguyên bằng cách sử dụng danh sách nhân tố
Bước 1. Đảm bảo rằng phương trình bậc ba của bạn có giá trị không đổi
Mặc dù các phương pháp được mô tả ở trên khá dễ sử dụng vì bạn không cần phải học một kỹ thuật tính toán mới để sử dụng chúng, nhưng chúng không phải lúc nào cũng giúp bạn giải phương trình bậc ba. Nếu phương trình bậc ba của bạn có dạng ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, trong đó giá trị của d không bằng 0, phương pháp "thừa số hóa" ở trên không hoạt động, vì vậy bạn sẽ cần sử dụng một trong các phương pháp trong phần này để giải quyết vấn đề này.
Ví dụ, giả sử chúng ta có phương trình 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x = -6. Trong trường hợp này, để nhận được số 0 ở vế phải của phương trình, chúng ta phải thêm 6 vào cả hai vế. Sau đó, chúng ta sẽ nhận được một phương trình mới 2 x 3 + 9 x 2 + 13 x + 6 = 0, với giá trị là d = 6, do đó chúng ta không thể sử dụng phương pháp "thừa số hóa" như phương pháp trước.
Bước 2. Tìm thừa số của a và d
Để giải phương trình bậc ba của bạn, hãy bắt đầu bằng cách tìm thừa số của a (hệ số của x 3) và d (giá trị không đổi ở cuối phương trình). Hãy nhớ rằng, thừa số là những con số có thể được nhân với nhau để tạo ra một số nhất định. Ví dụ: vì bạn có thể nhận được 6 bằng cách nhân 6 × 1 và 2 × 3 nên 1, 2, 3 và 6 là các thừa số của 6.
-
Trong bài toán ví dụ chúng ta đang sử dụng, a = 2 và d = 6. Hệ số của 2 là 1 và 2. Trong khi hệ số của 6 là 1, 2, 3 và 6.
Giải phương trình khối bước 7 Bước 3. Chia thừa số a cho thừa số d
Tiếp theo, liệt kê các giá trị bạn nhận được bằng cách chia từng thừa số của a cho từng nhân tố của d. Phép tính này thường dẫn đến nhiều giá trị phân số và một số số nguyên. Giá trị nguyên để giải phương trình bậc ba của bạn là một trong những số nguyên có được từ phép tính.
Trong phương trình của chúng ta, chia giá trị thừa số của a (1, 2) cho thừa số của d (1, 2, 3, 6) và nhận được các kết quả sau: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2 và 2/3. Tiếp theo, thêm các giá trị âm vào danh sách và chúng tôi nhận được: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3 và -2/3. Câu trả lời cho phương trình bậc ba - là một số nguyên, có trong danh sách.
Giải phương trình khối bước 8 Bước 4. Sử dụng phép chia tổng hợp để kiểm tra câu trả lời của bạn theo cách thủ công
Khi bạn có danh sách các giá trị như ở trên, bạn có thể tra cứu các giá trị nguyên là câu trả lời cho phương trình bậc ba của bạn bằng cách nhập từng số nguyên theo cách thủ công và tìm giá trị nào trả về 0. Tuy nhiên, nếu bạn không muốn mất thời gian để làm việc này, có một cách để thực hiện nó nhanh chóng hơn, đó là với một phép tính gọi là phép chia tổng hợp. Về cơ bản, bạn sẽ chia giá trị số nguyên của mình cho các hệ số ban đầu của a, b, c và d trong phương trình bậc ba của bạn. Nếu phần dư bằng 0, thì giá trị đó là một trong những câu trả lời cho phương trình bậc ba của bạn.
-
Phân chia tổng hợp là một chủ đề phức tạp - hãy xem liên kết bên dưới để biết thêm thông tin. Dưới đây là một ví dụ về cách tìm một trong những câu trả lời cho phương trình bậc ba của bạn với phép chia tổng hợp:
-
- -1 | 2 9 13 6
- _| -2-7-6
- _| 2 7 6 0
- Vì chúng ta nhận được kết quả cuối cùng bằng 0, chúng ta biết rằng một trong những đáp án nguyên cho phương trình bậc ba của chúng ta là - 1.
-
Phương pháp 3/3: Sử dụng Phương pháp Tiếp cận Phân biệt
Giải một phương trình khối Bước 9 Bước 1. Viết các phương trình a, b, c và d
Để tìm câu trả lời cho phương trình bậc ba theo cách này, chúng ta sẽ thực hiện rất nhiều phép tính với các hệ số trong phương trình của chúng ta. Do đó, bạn nên ghi lại các giá trị của a, b, c và d trước khi quên bất kỳ giá trị nào.
Ví dụ, đối với phương trình x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1, viết nó dưới dạng a = 1, b = -3, c = 3 và d = -1. Đừng quên rằng khi biến x không có hệ số, giá trị của nó là 1.
Giải một phương trình khối Bước 10 Bước 2. Tính 0 = b 2 - 3 máy lạnh.
Cách tiếp cận phân biệt để tìm câu trả lời cho phương trình bậc ba đòi hỏi các phép tính phức tạp, nhưng nếu bạn làm theo các bước một cách cẩn thận, nó có thể rất hữu ích để giải các phương trình bậc ba khó giải theo cách khác. Để bắt đầu, hãy tìm giá trị của 0, là giá trị có nghĩa đầu tiên của một số giá trị mà chúng ta cần, thêm giá trị thích hợp vào công thức b 2 - 3 máy lạnh.
-
Trong ví dụ chúng tôi đang sử dụng, chúng tôi sẽ giải quyết nó như sau:
-
- NS 2 - 3 ac
- (-3)2 - 3(1)(3)
- 9 - 3(1)(3)
- 9 - 9 = 0 = 0
-
Giải một phương trình khối Bước 11 Bước 3. Tính 1 = 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 NS.
Giá trị quan trọng tiếp theo mà chúng ta cần, 1, yêu cầu tính toán lâu hơn, nhưng có thể được tìm thấy theo cách tương tự như 0. Thêm giá trị thích hợp vào công thức 2 b 3 - 9 abc + 27 a 2 d để nhận giá trị của 1.
-
Trong ví dụ này, chúng tôi giải quyết nó như sau:
-
- 2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)
- 2(-27) - 9(-9) + 27(-1)
- -54 + 81 - 27
- 81 - 81 = 0 = 1
-
Giải phương trình khối bước 12 Bước 4. Tính = 12 - 4Δ03) -27 a 2.
Tiếp theo, chúng tôi tính giá trị "phân biệt" của các giá trị 0 và 1. Số phân biệt là một số cung cấp cho bạn thông tin về căn của đa thức (bạn có thể đã vô thức ghi nhớ công thức phân biệt bậc hai: b 2 - 4 máy lạnh). Trong trường hợp phương trình bậc ba, nếu giá trị của phân thức là dương thì phương trình có ba nghiệm là số thực. Nếu giá trị phân biệt bằng 0, thì phương trình có một hoặc hai câu trả lời là số thực và một số câu trả lời có cùng giá trị. Nếu giá trị âm, thì phương trình chỉ có một đáp số là số thực, vì đồ thị của phương trình sẽ luôn cắt trục x ít nhất một lần.)
-
Trong ví dụ này, vì cả 0 và 1 = 0, nên việc tìm giá trị của rất dễ dàng. Chúng ta chỉ cần tính nó theo cách sau:
-
- 12 - 4Δ03) -27 a 2
- (0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2
- 0 - 0 ÷ 27
- 0 =, do đó phương trình của chúng ta có 1 hoặc 2 đáp án.
-
Giải một phương trình khối Bước 13 Bước 5. Tính C = 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1) / 2).
Giá trị cuối cùng quan trọng để chúng ta nhận được là giá trị của C. Giá trị này cho phép chúng ta nhận được cả ba nghiệm thức của phương trình bậc ba. Giải như bình thường, thêm các giá trị của 1 và 0 vào công thức.
-
Trong ví dụ này, chúng ta sẽ nhận được giá trị của C bằng cách:
-
- 3(√ ((Δ12 - 4Δ03) + 1) / 2)
- 3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)
- 3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)
- 0 = C
-
Giải phương trình khối bước 14 Bước 6. Tính ba nghiệm của phương trình với biến số của bạn
Căn (đáp số) của phương trình bậc ba của bạn được xác định bởi công thức (b + u C + (Δ0 / u C)) / 3 a, trong đó u = (-1 + (-3)) / 2 và n bằng 1, 2 hoặc 3. Cắm các giá trị của bạn vào công thức để giải chúng - có thể có một số phép tính bạn cần thực hiện, nhưng bạn sẽ nhận được cả ba câu trả lời phương trình bậc ba của bạn!
-
Trong ví dụ này, chúng ta có thể giải nó bằng cách kiểm tra các câu trả lời khi n bằng 1, 2 và 3. Câu trả lời chúng ta nhận được từ phép tính này là câu trả lời khả thi cho phương trình bậc ba của chúng ta - bất kỳ giá trị nào chúng ta cắm vào phương trình bậc ba và nó cho kết quả cùng kết quả. với 0, là câu trả lời đúng. Ví dụ: nếu chúng ta nhận được câu trả lời bằng 1 nếu trong một trong các thí nghiệm tính toán của chúng ta, gắn giá trị 1 vào phương trình x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 cho kết quả cuối cùng bằng 0. Như vậy
Bước 1. là một trong những câu trả lời cho phương trình bậc ba của chúng ta.
-
