Cách đơn giản hóa phân số phức tạp: 9 bước (có hình ảnh)

2024 Tác giả: Jason Gerald | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-15 08:26

Phân số phức là phân số trong đó tử số, mẫu số hoặc cả hai cùng chứa một phân số. Vì lý do này, các phân số phức tạp đôi khi được gọi là "phân số xếp chồng lên nhau". Việc đơn giản hóa phân số phức tạp có thể dễ hoặc khó, tùy thuộc vào việc có bao nhiêu số ở tử số và mẫu số, cho dù một trong các số đó là một biến số hay độ phức tạp của một số biến số. Xem Bước 1 bên dưới để bắt đầu!

Bươc chân

Phương pháp 1/2: Đơn giản hóa phân số phức với phép nhân nghịch đảo

Bước 1. Đơn giản hóa tử số và mẫu số thành một phân số duy nhất nếu cần

Phân số phức tạp không phải lúc nào cũng khó giải. Trên thực tế, các phân số phức tạp mà tử số và mẫu số của chúng chứa một phân số duy nhất thường khá dễ giải. Vì vậy, nếu tử số hoặc mẫu số (hoặc cả hai) của một phân số phức tạp chứa nhiều phân số hoặc phân số và một số nguyên, hãy đơn giản hóa nó để nhận được một phân số duy nhất ở cả tử số và mẫu số. Tìm bội chung ít nhất (LCM) của hai hoặc nhiều phân số.

• Ví dụ: giả sử chúng ta muốn đơn giản hóa một phân số phức (3/5 + 2/15) / (5/7 - 3/10). Đầu tiên, chúng ta sẽ đơn giản hóa cả tử số và mẫu số của một phân số phức thành một phân số duy nhất.

  • Để đơn giản hóa tử số, hãy sử dụng LCM 15 thu được bằng cách nhân 3/5 với 3/3. Tử số sẽ là 9/15 + 2/15, bằng 15/11.
  • Để đơn giản hóa mẫu số, chúng ta sẽ sử dụng kết quả LCM là 70 nhận được bằng cách nhân 5/7 với 10/10 và 3/10 với 7/7. Mẫu số sẽ là 50/70 - 21/70, bằng 29/70.
  • Do đó, phân số phức mới là (11/15)/(29/70).

Bước 2. Đảo mẫu số để tìm số nghịch đảo của nó

Theo định nghĩa, chia một số cho một số khác cũng giống như nhân số thứ nhất với nghịch đảo của số thứ hai. Bây giờ chúng ta có một phân số phức với một phân số ở cả tử số và mẫu số, chúng ta sẽ sử dụng phép chia này để đơn giản hóa phân số phức. Đầu tiên, tìm nghịch đảo của phân số ở dưới cùng của phân số phức. Làm điều này bằng cách "đảo ngược" phân số - đặt tử số thay cho mẫu số và ngược lại.

• Trong ví dụ của chúng tôi, phân số ở mẫu số của phân số phức (11/15) / (29/70) là 29/70. Để tìm nghịch đảo, chúng ta "đảo ngược" nó để chúng ta nhận được 70/29.

  Lưu ý rằng nếu một phân số phức có một số nguyên ở mẫu số, chúng ta có thể coi nó như một phân số và tìm nghịch đảo của nó. Ví dụ, nếu phân số phức là (11/15) / (29), chúng ta có thể đặt mẫu số là 29/1, có nghĩa là nghịch đảo là 1/29.

Bước 3. Nhân tử số của phân số phức với nghịch đảo của mẫu số

Bây giờ chúng ta đã có nghịch đảo của mẫu số của phân số phức, hãy nhân nó với tử số để được một phân số đơn giản. Hãy nhớ rằng để nhân hai phân số, chúng ta chỉ nhân chéo - tử số của phân số mới là tử số của hai phân số cũ, cũng như mẫu số.

Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi sẽ nhân 11/15 × 70/29. 70 × 11 = 770 và 15 × 29 = 435. Vì vậy, phân số đơn giản mới là 770/435.

Bước 4. Đơn giản hóa phân số mới bằng cách tìm nhân tử chung lớn nhất

Chúng ta đã có một phân số đơn giản, vì vậy tất cả những gì chúng ta phải làm là đưa ra một số đơn giản nhất. Tìm thừa số chung lớn nhất (GCF) của tử số và mẫu số rồi chia cả hai cho số này để đơn giản hóa nó.

Một trong những thừa số chung của 770 và 435 là 5. Vì vậy, nếu chúng ta chia tử số và mẫu số của phân số cho 5, chúng ta được 154/87. 154 và 87 không có thừa số chung, vì vậy đó là câu trả lời cuối cùng!

Phương pháp 2/2: Đơn giản hóa phân số phức có chứa số biến

Bước 1. Nếu có thể, hãy sử dụng phương pháp nhân ngược ở trên

Nói một cách rõ ràng, hầu hết tất cả các phân số phức tạp đều có thể được đơn giản hóa bằng cách trừ tử số và mẫu số cho một phân số duy nhất và nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số. Các phân số phức có chứa biến cũng được đưa vào, mặc dù việc biểu thị các biến trong phân số phức càng phức tạp thì việc sử dụng phép nhân ngược càng khó và tốn nhiều thời gian. Đối với phân số phức "dễ" có chứa biến, phép nhân nghịch đảo là một lựa chọn tốt, nhưng phân số phức có nhiều biến ở tử số và mẫu số có thể dễ dàng đơn giản hơn theo cách thay thế được mô tả bên dưới.

• Ví dụ, (1 / x) / (x / 6) rất dễ đơn giản hóa bằng phép nhân nghịch đảo. 1 / x × 6 / x = 6 / x². Không cần thiết phải sử dụng các phương pháp thay thế ở đây.
• Tuy nhiên, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))) khó đơn giản hơn bằng phép nhân nghịch đảo. Giảm tử số và mẫu số của phân số phức tạp thành phân số đơn, nhân số nghịch đảo và giảm kết quả thành những số đơn giản nhất có thể là một quá trình phức tạp. Trong trường hợp này, phương pháp thay thế bên dưới có thể dễ dàng hơn.

Bước 2. Nếu phép nhân ngược không thực tế, hãy bắt đầu bằng cách tìm LCM của số phân số trong phân số phức

Bước đầu tiên là tìm LCM của tất cả các số trong một phân số phức - cả ở tử số và mẫu số. Thông thường, nếu một hoặc nhiều số phân số có một số ở mẫu số, thì LCM là số ở mẫu số.

Điều này dễ hiểu hơn với một ví dụ. Hãy thử đơn giản hóa các phân số phức nói trên, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))). Các số phân số trong phân số phức này là (1) / (x + 3) và (1) / (x-5). LCM của hai phân số là số ở mẫu số: (x + 3) (x-5).

Bước 3. Nhân tử số của phân số phức với LCM vừa tìm được

Tiếp theo, chúng ta phải nhân số trong phân số phức với LCM của phân số. Nói cách khác, chúng ta sẽ nhân tất cả các phân số phức với (KPK) / (KPK). Chúng ta có thể làm điều này một cách độc lập vì (KPK) / (KPK) bằng 1. Đầu tiên, nhân các tử số với chính nó.

• Trong ví dụ của chúng ta, chúng ta sẽ nhân phân số phức, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), tức là ((x + 3) (x-5)) / ((x + 3) (x-5)). Chúng ta phải nhân qua tử số và mẫu số của phân số phức, nhân mỗi số với (x + 3) (x-5).

  • Đầu tiên, hãy nhân các tử số: (((1) / (x + 3)) + x - 10) × (x + 3) (x-5)

    • = (((x + 3) (x-5) / (x + 3)) + x ((x + 3) (x-5)) - 10 ((x + 3) (x-5))
    • = (x-5) + (x (x.)² - 2x - 15)) - (10 (x² - 2x - 15))
    • = (x-5) + (x³ - 2x² - 15x) - (10x² - 20x - 150)
    • = (x-5) + x³ - 12x² + 5x + 150
    • = NS³ - 12x² + 6x +145

Bước 4. Nhân mẫu số của phân số phức với LCM như cách bạn làm với tử số

Tiếp tục nhân phân số phức với LCM tìm được bằng cách chuyển sang mẫu số. Nhân tất cả, nhân từng số với LCM.

• Mẫu số của phân số phức của chúng ta, (((1) / (x + 3)) + x - 10) / (x +4 + ((1) / (x - 5))), là x +4 + ((1) // (x-5)). Chúng tôi sẽ nhân nó với LCM tìm được, (x + 3) (x-5).

  • (x +4 + ((1) / (x - 5))) × (x + 3) (x-5)
  • = x ((x + 3) (x-5)) + 4 ((x + 3) (x-5)) + (1 / (x-5)) (x + 3) (x-5).
  • = x (x² - 2x - 15) + 4 (x² - 2x - 15) + ((x + 3) (x-5)) / (x-5)
  • = x³ - 2x² - 15x + 4x² - 8x - 60 + (x + 3)
  • = x³ + 2x² - 23x - 60 + (x + 3)
  • = NS³ + 2x² - 22x - 57

Bước 5. Tạo một phân số mới và đơn giản hóa từ tử số và mẫu số mới tìm được

Sau khi nhân phân số với (KPK) / (KPK) và đơn giản hóa nó bằng cách kết hợp các số, kết quả là một phân số đơn giản không chứa số phân số. Lưu ý rằng bằng cách nhân với LCM của số phân số trong phân số phức ban đầu, mẫu số của phân số này sẽ hết và để lại biến số và số nguyên ở tử và mẫu số của câu trả lời, không có bất kỳ phân số nào.

Với tử số và mẫu số tìm được ở trên, chúng ta có thể xây dựng một phân số giống như phân số phức ban đầu, nhưng không chứa phân số. Tử số thu được là x³ - 12x² + 6x + 145 và mẫu số chúng ta nhận được là x³ + 2x² - 22x - 57, vì vậy phân số mới trở thành (NS³ - 12x² + 6x + 145) / (x³ + 2x² - 22x - 57)

Lời khuyên

• Hiển thị từng bước của công việc. Các phân số có thể gây nhầm lẫn nếu các bước đếm quá nhanh hoặc cố gắng thực hiện thuộc lòng.
• Tìm các ví dụ về phân số phức tạp trên internet hoặc trong sách. Làm theo từng bước cho đến khi có thể thành thạo.