Sinh viên Toán học thường được yêu cầu viết ra các câu trả lời của họ ở dạng đơn giản nhất - nói cách khác, viết ra các câu trả lời một cách trang nhã nhất có thể. Mặc dù dài, khó và ngắn, cũng như thanh lịch, về mặt kỹ thuật, các phương trình đều giống nhau, thông thường, một bài toán sẽ không được coi là hoàn chỉnh nếu câu trả lời cuối cùng không được rút gọn về dạng đơn giản nhất của nó. Ngoài ra, câu trả lời ở dạng đơn giản nhất hầu như luôn luôn là phương trình dễ làm nhất. Vì lý do này, học cách đơn giản hóa các phương trình là một kỹ năng quan trọng đối với các nhà toán học.
Bươc chân
Phương pháp 1/2: Sử dụng trình tự thao tác
Bước 1. Biết thứ tự các thao tác
Khi đơn giản hóa các biểu thức toán học, bạn không thể chỉ làm việc từ trái sang phải, nhân, cộng, trừ, v.v. theo thứ tự từ trái sang phải. Một số phép toán phải được ưu tiên hơn các phép toán khác và được thực hiện trước. Trên thực tế, việc sử dụng sai thứ tự các thao tác có thể đưa ra câu trả lời sai. Thứ tự các phép toán là: phần trong ngoặc, số mũ, nhân, chia, cộng và cuối cùng là phép trừ. Một từ viết tắt mà bạn có thể sử dụng để ghi nhớ là Vì Mẹ Không Tốt, Ác và Nghèo.
Lưu ý rằng, trong khi kiến thức cơ bản về thứ tự của các phép toán có thể đơn giản hóa các phương trình cơ bản nhất, thì cần phải có các kỹ thuật đặc biệt để đơn giản hóa nhiều phương trình biến, bao gồm gần như tất cả các đa thức. Xem phương pháp thứ hai sau đây để biết thêm thông tin
Bước 2. Bắt đầu bằng cách hoàn thành tất cả các phần trong ngoặc đơn
Trong toán học, dấu ngoặc chỉ ra rằng phần bên trong phải được tính riêng biệt với phần biểu thức nằm ngoài dấu ngoặc. Bất kể thao tác nào bên trong dấu ngoặc, hãy đảm bảo hoàn thành phần bên trong dấu ngoặc trước khi bạn đang cố gắng đơn giản hóa một phương trình. Ví dụ, trong dấu ngoặc đơn, bạn phải nhân trước khi cộng, trừ, v.v.
-
Ví dụ, hãy thử đơn giản hóa phương trình 2x + 4 (5 + 2) + 32 - (3 + 4/2). Trong phương trình này, đầu tiên chúng ta phải giải phần bên trong dấu ngoặc, cụ thể là 5 + 2 và 3 + 4/2. 5 + 2 =
Bước 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2
Bước 5
Phần trong dấu ngoặc thứ hai được đơn giản hóa thành 5 vì theo thứ tự của phép toán, chúng ta chia 4/2 đầu tiên trong dấu ngoặc. Nếu chúng ta chỉ làm việc từ trái sang phải, chúng ta cộng 3 và 4 trước, sau đó chia cho 2, kết quả sai 7/2
- Lưu ý - nếu có nhiều dấu ngoặc trong ngoặc, hãy hoàn thành phần trong dấu ngoặc trong cùng, sau đó đến phần trong cùng thứ hai, v.v.
Bước 3. Giải số mũ
Sau khi hoàn thành dấu ngoặc, tiếp theo, giải số mũ của phương trình của bạn. Điều này rất dễ nhớ vì trong số mũ, cơ số và lũy thừa nằm cạnh nhau. Tìm câu trả lời cho mỗi phần của số mũ, sau đó đưa câu trả lời của bạn vào phương trình để thay thế phần số mũ.
Sau khi hoàn thành phần trong dấu ngoặc đơn, phương trình ví dụ của chúng ta bây giờ trở thành 2x + 4 (7) + 32 - 5. Cấp số nhân duy nhất trong ví dụ của chúng tôi là 32, bằng 9. Thêm kết quả này vào phương trình của bạn để thay thế 32 kết quả là 2x + 4 (7) + 9 - 5.
Bước 4. Giải bài toán nhân trong phương trình của bạn
Tiếp theo, thực hiện bất kỳ phép nhân nào cần thiết trong phương trình của bạn. Hãy nhớ rằng phép nhân có thể được viết theo nhiều cách. Dấu chấm × hoặc biểu tượng dấu hoa thị là một cách thể hiện phép nhân. Tuy nhiên, một số bên cạnh dấu ngoặc đơn hoặc một biến (chẳng hạn như 4 (x)) cũng đại diện cho một phép nhân.
-
Có hai phần để nhân trong bài toán của chúng ta: 2x (2x là 2 × x) và 4 (7). Chúng tôi không biết giá trị của x, vì vậy chúng tôi chỉ để nó ở 2x. 4 (7) = 4 × 7 =
Bước 28.. Chúng ta có thể viết lại phương trình của mình thành 2x + 28 + 9 - 5.
Bước 5. Tiến hành chia
Khi bạn đang tìm kiếm các vấn đề về phép chia trong phương trình của mình, hãy nhớ rằng, giống như phép nhân, phép chia có thể được viết theo một số cách. Một trong số đó là biểu tượng, nhưng hãy nhớ rằng dấu gạch chéo và dấu gạch ngang chẳng hạn như trong phân số (ví dụ: 3/4) cũng biểu thị phép chia.
Bởi vì chúng ta đã thực hiện phép chia (4/2) khi chúng ta hoàn thành các phần trong ngoặc. Ví dụ của chúng tôi chưa có vấn đề phân chia, vì vậy chúng tôi sẽ bỏ qua bước này. Điều này cho thấy một điểm quan trọng - bạn không phải thực hiện tất cả các phép toán khi đơn giản hóa một biểu thức, chỉ các phép toán có trong bài toán của bạn
Bước 6. Tiếp theo, thêm bất cứ điều gì có trong phương trình của bạn
Bạn có thể làm việc từ trái sang phải, nhưng sẽ dễ dàng hơn khi cộng các số dễ cộng trước. Ví dụ, trong bài toán 49 + 29 + 51 + 71, ta dễ dàng thêm 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 và 100 + 100 = 200, hơn 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129 và 129 + 71 = 200.
Phương trình ví dụ của chúng tôi đã được đơn giản hóa một phần thành 2x + 28 + 9 - 5. Bây giờ, chúng ta phải cộng các số chúng ta có thể cộng lại - chúng ta hãy xem xét từng bài toán cộng từ trái sang phải. Chúng ta không thể thêm 2x và 28 vì chúng ta không biết giá trị của x, vì vậy chúng ta sẽ bỏ qua nó. 28 + 9 = 37, có thể được viết lại thành 2x + 37 - 5.
Bước 7. Bước cuối cùng của chuỗi hoạt động là phép trừ
Tiếp tục vấn đề của bạn bằng cách giải các bài toán trừ còn lại. Bạn có thể coi phép trừ như là cộng các số âm trong bước này hoặc sử dụng các bước tương tự như đối với bài toán cộng thông thường - lựa chọn của bạn sẽ không ảnh hưởng đến câu trả lời của bạn.
-
Trong bài toán 2x + 37 - 5 của chúng ta, chỉ có một bài toán trừ. 37 - 5 =
Bước 32.
Bước 8. Kiểm tra phương trình của bạn
Sau khi giải bằng cách sử dụng thứ tự các phép toán, phương trình của bạn sẽ được đơn giản hóa về dạng đơn giản nhất. Tuy nhiên, nếu phương trình của bạn chứa một hoặc nhiều biến, hãy hiểu rằng các biến của bạn không cần phải làm việc. Để đơn giản hóa một biến, bạn phải tìm giá trị của biến hoặc sử dụng các kỹ thuật đặc biệt để đơn giản hóa biểu thức (xem bước bên dưới).
Câu trả lời cuối cùng của chúng tôi là 2x + 32. Chúng ta không thể giải được phép cộng cuối cùng này trừ khi chúng ta biết giá trị của x, nhưng nếu chúng ta biết giá trị của nó, phương trình này sẽ dễ giải hơn nhiều so với phương trình ban đầu dài của chúng ta
Phương pháp 2/2: Đơn giản hóa phương trình phức tạp
Bước 1. Cộng các phần có cùng biến
Khi giải các phương trình nhiều biến, hãy nhớ rằng các phần có cùng một biến và số mũ (hoặc cùng một biến) có thể được cộng và trừ giống như các số bình thường. Phần này phải có cùng một biến và số mũ. Ví dụ: 7x và 5x có thể được thêm vào, nhưng 7x và 5x2 không thể được thêm lên.
- Quy tắc này cũng áp dụng cho một số biến. Ví dụ: 2xy2 có thể được tính bằng -3xy2, nhưng không thể được tính bằng -3x2y hoặc -3y2.
- Xem phương trình x2 + 3x + 6 - 8x. Trong phương trình này, chúng ta có thể thêm 3x và -8x vì chúng có cùng biến số và số mũ. Phương trình đơn giản trở thành x2 - 5x + 6.
Bước 2. Đơn giản hóa số phân số bằng cách chia hoặc gạch bỏ thừa số
Các phân số chỉ có số (và không có biến) ở tử số và mẫu số có thể được đơn giản hóa theo một số cách. Đầu tiên, và có lẽ là dễ nhất, là nghĩ về phân số như một bài toán chia và chia mẫu số cho tử số. Ngoài ra, bất kỳ thừa số nhân nào xuất hiện ở tử số và mẫu số đều có thể bị gạch bỏ vì chia hai thừa số sẽ cho kết quả là số 1.
Ví dụ, nhìn vào phân số 36/60. Nếu chúng ta có một máy tính, chúng ta có thể chia nó để có câu trả lời 0, 6. Tuy nhiên, nếu không có máy tính, chúng ta vẫn có thể đơn giản hóa nó bằng cách gạch bỏ các yếu tố giống nhau. Một cách khác để tưởng tượng 36/60 là (6 × 6) / (6 × 10). Phân số này có thể được viết dưới dạng 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, vì vậy phân số của chúng ta thực sự là 1 × 6/10 = 6/10. Tuy nhiên, chúng ta vẫn chưa hoàn thành - cả 6 và 10 đều có cùng hệ số, là 2. Lặp lại phương pháp trên, kết quả trở thành 3/5.
Bước 3. Trên phần biến, gạch bỏ tất cả các thừa số của biến
Phương trình biến ở dạng phân số có một cách đơn giản hóa duy nhất. Giống như phân số thông thường, phân số biến thiên cho phép bạn loại bỏ các thừa số mà cả tử số và mẫu số đều có chung. Tuy nhiên, trong phân số biến đổi, những yếu tố này có thể là số và phương trình của biến thực tế.
- Giả sử phương trình (3x2 + 3x) / (- 3x2 + 15x) Phân số này có thể viết thành (x + 1) (3x) / (3x) (5 - x), 3x xuất hiện ở cả tử số và mẫu số. Bằng cách loại bỏ các yếu tố này ra khỏi phương trình, kết quả trở thành (x + 1) / (5 - x). Tương tự như trong biểu thức (2x2 + 4x + 6) / 2, vì mỗi phần đều chia hết cho 2 nên ta có thể viết phương trình dưới dạng (2 (x2 + 2x + 3)) / 2 và sau đó đơn giản hóa thành x2 + 2x + 3.
- Lưu ý rằng bạn không thể gạch bỏ tất cả các phần - bạn chỉ có thể gạch bỏ các thừa số nhân xuất hiện ở tử số và mẫu số. Ví dụ, trong biểu thức (x (x + 2)) / x, có thể gạch bỏ x ở cả tử số và mẫu số, để nó trở thành (x + 2) / 1 = (x + 2). Tuy nhiên, (x + 2) / x không thể bị gạch bỏ thành 2/1 = 2.
Bước 4. Nhân phần trong ngoặc với hằng số
Khi nhân phần có biến trong ngoặc với một hằng số, đôi khi nhân từng phần trong ngoặc với một hằng số có thể tạo ra một phương trình đơn giản hơn. Điều này áp dụng cho các hằng số chỉ bao gồm số và hằng số có các biến.
- Ví dụ, phương trình 3 (x2 + 8) có thể được đơn giản hóa thành 3x2 + 24, trong khi 3x (x2 + 8) có thể được đơn giản hóa thành 3x3 + 24x.
- Lưu ý rằng, trong một số trường hợp, chẳng hạn như biến phân số, các hằng số xung quanh dấu ngoặc đơn có thể bị gạch bỏ để chúng không cần nhân với phần trong ngoặc đơn. Dưới dạng phân số (3 (x2 + 8)) / 3x, chẳng hạn, thừa số 3 xuất hiện ở cả tử số và mẫu số, vì vậy chúng ta có thể gạch bỏ nó và đơn giản hóa biểu thức thành (x2 + 8) / x. Biểu thức này đơn giản hơn và dễ làm việc hơn (3x3 + 24x) / 3x, là kết quả chúng ta sẽ nhận được nếu nhân với nó.
Bước 5. Đơn giản hóa bằng cách bao thanh toán
Bao thanh toán là một kỹ thuật có thể được sử dụng để đơn giản hóa một số biểu thức biến, bao gồm cả đa thức. Hãy coi việc nhân thừa với một phần trong ngoặc đơn ở bước trên - đôi khi, một biểu thức có thể được coi là hai phần được nhân với nhau, chứ không phải là một biểu thức đơn nhất. Điều này đặc biệt đúng nếu việc tính thừa một phương trình cho phép bạn gạch bỏ một trong các phần của nó (như ở dạng phân số). Trong một số trường hợp nhất định (thường xảy ra với phương trình bậc hai), tính thừa số thậm chí có thể cho phép bạn tìm nghiệm của phương trình.
- Chúng ta hãy giả sử một lần nữa biểu thức x2 - 5x + 6. Biểu thức này có thể được tính thành (x - 3) (x - 2). Vì vậy, nếu x2 - 5x + 6 là tử số của một phương trình đã cho trong đó mẫu số có một trong các yếu tố này, như trong biểu thức (x2 - 5x + 6) / (2 (x - 2)), chúng ta có thể muốn viết nó ở dạng thừa số để có thể gạch bỏ thừa số với mẫu số. Nói cách khác, trong (x - 3) (x - 2) / (2 (x - 2)), phần (x - 2) có thể bị gạch bỏ thành (x - 3) / 2.
-
Như đã chỉ ra ở trên, một lý do khác mà bạn có thể muốn tính thừa số các phương trình của mình là việc tính thừa số có thể cung cấp cho bạn câu trả lời cho một số phương trình nhất định, đặc biệt nếu chúng được viết bằng 0. Ví dụ, phương trình x2 - 5x + 6 = 0. Tính thừa cho (x - 3) (x - 2) = 0. Vì bất kỳ số nào nhân với 0 đều bằng 0, chúng ta biết rằng nếu bất kỳ phần nào của dấu ngoặc bằng 0, tất cả phương trình bên trái của dấu bằng, cũng bằng không. Vậy nên
Bước 3. da
Bước 2. là hai câu trả lời cho phương trình.
