Hai phân số là tương đương nếu chúng có cùng giá trị. Biết cách quy đổi phân số về dạng tương đương là một kỹ năng giải toán cực kỳ quan trọng, cần thiết đối với tất cả các dạng toán từ đại số cơ bản đến giải tích nâng cao. Bài viết này sẽ cung cấp một số cách tính phân số tương đương từ phép nhân và phép chia cơ bản đến các cách giải phương trình phân số tương đương phức tạp hơn.
Bươc chân
Phương pháp 1/5: Sắp xếp các phân số tương đương
Bước 1. Nhân tử số và mẫu số với cùng một số
Theo định nghĩa, hai phân số khác nhau nhưng tương đương có tử số và mẫu số là bội số của nhau. Nói cách khác, nhân tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số sẽ tạo ra các phân số tương đương. Mặc dù các số trong phân số mới sẽ khác nhưng các phân số sẽ có cùng giá trị.
- Ví dụ, nếu chúng ta lấy phân số 4/8 rồi nhân tử số và mẫu số với 2, chúng ta được (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Hai phân số này tương đương nhau.
- (4 × 2) / (8 × 2) thực sự giống với 4/8 × 2/2. Hãy nhớ rằng khi nhân hai phân số, chúng ta đang nhân thẳng hàng, nghĩa là tử số với tử số và mẫu số với mẫu số.
- Lưu ý rằng 2/2 bằng 1 nếu bạn thực hiện phép chia. Như vậy, dễ hiểu hơn tại sao 4/8 và 8/16 là tương đương vì nhân 4/8 × (2/2) = vẫn là 4/8. Trong cùng một cách, nó giống như nói 4/8 = 8/16.
- Bất kỳ phân số đã cho nào cũng có vô số phân số tương đương. Bạn có thể nhân cả tử số và mẫu số với bất kỳ số nguyên nào, bất kể kích thước lớn hay nhỏ, để được một phân số tương đương.
Bước 2. Chia tử số và mẫu số cho cùng một số
Giống như phép nhân, phép chia cũng có thể được sử dụng để tìm một phân số mới tương đương với phân số ban đầu của bạn. Chỉ cần chia tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số để được phân số tương đương. Có một hạn chế đối với quy trình này - phân số cuối cùng phải có số nguyên ở cả tử số và mẫu số mới đúng.
Ví dụ, hãy nhìn lại 4/8. Nếu thay vì nhân mà ta chia cả tử số và mẫu số cho 2 thì ta được (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 và 4 là các số nguyên, vì vậy các phân số tương đương này là đúng
Phương pháp 2/5: Sử dụng phép nhân cơ bản để xác định bằng
Bước 1. Tìm số phải nhân với mẫu số bé hơn để được mẫu số lớn hơn
Nhiều vấn đề về phân số liên quan đến việc xác định xem hai phân số có tương đương hay không. Bằng cách tính toán con số này, bạn có thể bắt đầu cân bằng các số hạng phân số để xác định bình đẳng.
- Ví dụ, sử dụng lại các phân số 4/8 và 8/16. Mẫu số nhỏ hơn là 8 và ta phải nhân số đó với 2 để được mẫu số lớn hơn là 16. Vậy số trong trường hợp này là 2.
- Đối với những số khó hơn, bạn có thể chia mẫu số lớn hơn cho mẫu số nhỏ hơn. Trong trường hợp này, 16 chia cho 8, vẫn cho kết quả là 2.
- Số không phải lúc nào cũng là số nguyên. Ví dụ, nếu mẫu số là 2 và 7, thì số đó là 3, 5.
Bước 2. Nhân tử số và mẫu số của phân số có số hạng nhỏ hơn với số ở bước đầu tiên
Hai phân số khác nhau nhưng tương đương, theo định nghĩa, tử số và mẫu số là bội số của nhau. Nói cách khác, nhân tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số sẽ tạo ra một phân số tương đương. Mặc dù các số trong phân số mới này sẽ khác nhưng các phân số này sẽ có cùng giá trị.
Ví dụ, nếu chúng ta sử dụng phân số 4/8 từ bước một và nhân tử số và mẫu số với số chúng ta đã xác định trước đó, là 2, chúng ta nhận được (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Kết quả này chứng tỏ hai phân số này là tương đương.
Phương pháp 3/5: Sử dụng phép chia cơ bản để xác định bình đẳng
Bước 1. Đếm từng phân số dưới dạng số thập phân
Đối với các phân số đơn giản không có biến, bạn có thể biểu diễn mỗi phân số dưới dạng số thập phân để xác định đẳng thức. Vì mọi phân số thực sự là một bài toán chia, đây là cách đơn giản nhất để xác định đẳng thức.
- Ví dụ: sử dụng phân số mà chúng ta đã sử dụng trước đó, 4/8. Phân số 4/8 tương đương với việc nói 4 chia cho 8, được 4/8 = 0,5. Bạn cũng có thể giải ví dụ khác, là 8/16 = 0,5. Bất kể các số hạng trong một phân số, phân số đều tương đương nếu cả hai số đều giống nhau khi được biểu diễn dưới dạng thập phân.
- Hãy nhớ rằng biểu thức thập phân có thể có nhiều chữ số trước khi dấu bằng là hiển nhiên. Ví dụ cơ bản, 1/3 = 0,333 lặp lại trong khi 3/10 = 0,3. Sử dụng nhiều hơn một chữ số, chúng ta thấy rằng hai phân số này không tương đương.
Bước 2. Chia tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số để được một phân số tương đương
Đối với các phân số phức tạp hơn, phương pháp chia yêu cầu các bước bổ sung. Trong khi với phép nhân, bạn có thể chia tử số và mẫu số của một phân số cho cùng một số để được một phân số tương đương. Có một nhược điểm đối với quá trình này. Phân số cuối cùng phải có số nguyên ở cả tử số và mẫu số là đúng.
Ví dụ, hãy nhìn lại 4/8. Nếu thay vì nhân, ta chia tử số và mẫu số cho 2, ta được (4 2) / (8 2) = 2/4. 2 và 4 là các số nguyên, vì vậy các phân số tương đương này là đúng.
Bước 3. Đơn giản hóa các phân số thành các số hạng đơn giản nhất của chúng
Hầu hết các phân số thường được viết ở dạng đơn giản nhất và bạn có thể chuyển các phân số về dạng đơn giản nhất bằng cách chia cho nhân tử chung lớn nhất (GCF). Bước này được thực hiện theo logic tương tự như viết các phân số tương đương, chuyển chúng về cùng một mẫu số, nhưng phương pháp này cố gắng đơn giản hóa mỗi phân số thành các số hạng nhỏ nhất có thể của nó.
- Khi một phân số ở dạng đơn giản nhất, tử số và mẫu số có giá trị nhỏ nhất có thể. Cả hai không được chia cho bất kỳ số nguyên nào để nhận giá trị nhỏ hơn. Để chuyển một phân số không ở dạng đơn giản nhất thành dạng tương đương đơn giản nhất của nó, ta chia tử số và mẫu số cho nhân tử chung lớn nhất của chúng.
-
Thừa số chung lớn nhất (GCF) của tử số và mẫu số là số lớn nhất chia chúng để cho kết quả là số nguyên. Vì vậy, trong ví dụ 4/8 của chúng tôi, bởi vì
Bước 4. là số lớn nhất chia hết cho 4 và 8, chúng ta sẽ chia tử số và mẫu số của phân số của chúng ta cho 4 để được các số hạng đơn giản nhất. (4 4) / (8 4) = 1/2. Đối với ví dụ khác của chúng tôi, 8/16, GCF là 8, cũng trả về giá trị 1/2 dưới dạng biểu thức đơn giản nhất của một phân số.
Phương pháp 4/5: Sử dụng các sản phẩm chéo để tìm biến
Bước 1. Sắp xếp hai phân số sao cho chúng bằng nhau
Chúng tôi sử dụng phép nhân chéo cho các bài toán mà chúng tôi biết các phân số là tương đương, nhưng một trong các số đã được thay thế bằng một biến (thường là x) mà chúng tôi phải giải. Trong những trường hợp như thế này, chúng ta biết rằng các phân số này là tương đương vì chúng là số hạng duy nhất ở phía bên kia của dấu bằng, nhưng thường thì cách tìm biến không rõ ràng. May mắn thay, với phép nhân chéo, việc giải các dạng bài toán này rất dễ dàng.
Bước 2. Lấy hai phân số tương đương và nhân chúng với một hình chữ "X"
Nói cách khác, bạn nhân tử số của một phân số với mẫu số của phân số khác và ngược lại, sau đó sắp xếp hai đáp án trùng khớp với nhau và giải.
Lấy hai ví dụ của chúng tôi, 4/8 và 8/16. Không có biến, nhưng chúng ta có thể chứng minh khái niệm bởi vì chúng ta đã biết rằng chúng tương đương. Bằng cách nhân chéo, chúng ta nhận được 4/16 = 8 x 8, hoặc 64 = 64, điều này đúng. Nếu hai số này không bằng nhau thì các phân số không tương đương
Bước 3. Thêm các biến
Vì phép nhân chéo là cách dễ nhất để xác định các phân số tương đương khi bạn phải tìm biến, hãy thêm biến.
-
Ví dụ, hãy sử dụng phương trình 2 / x = 10/13. Để nhân chéo, chúng ta nhân 2 với 13 và 10 với x, sau đó đặt các câu trả lời của chúng ta bằng nhau:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Từ đây, việc tìm ra câu trả lời cho biến của chúng ta là một bài toán đại số đơn giản. x = 26/10 = 2, 6, làm cho phân số tương đương ban đầu là 2/2, 6 = 10/13.
Bước 4. Sử dụng phép nhân chéo đối với phân số nhiều biến hoặc biểu thức nhiều biến
Một trong những điều tốt nhất về phép nhân chéo là nó thực sự hoạt động theo cùng một cách, cho dù bạn đang làm việc với hai phân số đơn giản (như trên) hay phân số phức tạp hơn. Ví dụ, nếu cả hai phân số đều có biến, bạn chỉ cần loại bỏ các biến này trong quá trình giải. Tương tự, nếu tử số hoặc mẫu số của phân số của bạn có biểu thức biến (như x + 1), chỉ cần "nhân" nó bằng cách sử dụng thuộc tính phân phối và giải như bình thường.
-
Ví dụ, hãy sử dụng phương trình ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Trong trường hợp này, như ở trên, chúng tôi sẽ giải quyết nó theo sản phẩm chéo:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, sau đó chúng ta có thể đơn giản hóa phân số bằng cách trừ đi 2x cho cả hai vế
- 2 = 2x + 12, sau đó chúng tôi tách biến bằng cách trừ 12 cho cả hai bên
- -10 = 2x và chia cho 2 để tìm x
- - 5 = x
Phương pháp 5/5: Sử dụng công thức bậc hai để tìm biến
Bước 1. Hãy gạch chéo hai phân số
Đối với các bài toán về đẳng thức yêu cầu công thức bậc hai, chúng ta vẫn bắt đầu bằng cách sử dụng tích chéo. Tuy nhiên, bất kỳ tích chéo nào liên quan đến việc nhân các số hạng của một biến với các số hạng của một biến khác đều có khả năng dẫn đến một biểu thức không thể dễ dàng giải được bằng đại số. Trong những trường hợp như thế này, bạn có thể cần sử dụng các kỹ thuật như tính thừa và / hoặc công thức bậc hai.
-
Ví dụ, hãy nhìn vào phương trình ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). Đầu tiên, hãy nhân chéo:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Bước 2. Viết phương trình dưới dạng phương trình bậc hai
Trong phần này, chúng tôi muốn viết phương trình này ở dạng bậc hai (ax2 + bx + c = 0), chúng ta thực hiện bằng cách lập phương trình bằng 0. Trong trường hợp này, chúng tôi trừ 12 cho cả hai bên để được 2x2 - 14 = 0.
Một số giá trị có thể bằng 0. Mặc dù 2x2 - 14 = 0 là dạng đơn giản nhất của phương trình, bất phương trình bậc hai là 2x2 + 0x + (-14) = 0. Có thể hữu ích ngay từ đầu khi viết ra dạng phương trình bậc hai ngay cả khi một số giá trị bằng 0.
Bước 3. Giải bằng cách cắm các số từ phương trình bậc hai của bạn vào công thức bậc hai
Công thức bậc hai (x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a) sẽ giúp chúng ta tìm giá trị x trong phần này. Đừng sợ độ dài của công thức. Bạn chỉ cần lấy các giá trị từ phương trình bậc hai của mình ở bước hai và đặt chúng vào đúng vị trí trước khi giải chúng.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac)) / 2a. Trong phương trình của chúng tôi, 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 và c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112)) / 2 (2)
- x = (+/- (112)) / 2 (2)
- x = (+/- 10.58 / 4)
- x = +/- 2, 64
Bước 4. Kiểm tra câu trả lời của bạn bằng cách nhập lại giá trị của x vào phương trình bậc hai của bạn
Bằng cách cắm lại giá trị x đã tính được vào phương trình bậc hai từ bước hai, bạn có thể dễ dàng xác định xem mình có đúng câu trả lời hay không. Trong ví dụ này, bạn sẽ cắm 2, 64 và -2, 64 vào phương trình bậc hai ban đầu.
Lời khuyên
- Chuyển một phân số thành tương đương của nó thực chất là một dạng nhân một phân số với 1. Khi chuyển 1/2 thành 2/4, nhân tử số và mẫu số với 2 cũng giống như nhân 1/2 với 2/2, mà bằng 1.
-
Nếu muốn, hãy chuyển hỗn số thành phân số chung để chuyển đổi dễ dàng hơn. Tất nhiên, không phải tất cả các phân số bạn gặp sẽ dễ dàng như chuyển đổi ví dụ 4/8 của chúng tôi ở trên. Ví dụ, hỗn số (chẳng hạn như 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, v.v.) có thể làm cho quá trình chuyển đổi phức tạp hơn một chút. Nếu bạn phải chuyển hỗn số thành phân số chung, bạn có thể thực hiện điều này theo hai cách: bằng cách chuyển hỗn số thành phân số chung, sau đó chuyển đổi nó như bình thường, hoặc bằng cách duy trì dạng hỗn số và nhận câu trả lời ở dạng hỗn số.
- Để chuyển thành phân số chung, nhân thành phần nguyên của hỗn số với mẫu số của thành phần phân số rồi cộng vào tử số. Ví dụ: 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Sau đó, nếu muốn, bạn có thể thay đổi nó khi cần thiết. Ví dụ: 5/3 × 2/2 = 10/6, vẫn bằng 1 2/3.
- Tuy nhiên, chúng ta không phải chuyển nó thành phân số chung như trên. Nếu không, chúng ta để nguyên thành phần nguyên, chỉ thay đổi thành phần phân số và thêm thành phần nguyên không thay đổi. Ví dụ, đối với 3 4/16, chúng ta chỉ thấy 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Vì vậy, bằng cách thêm lại các thành phần số nguyên của chúng ta, chúng ta nhận được một số hỗn hợp mới, 3 1/4.
Cảnh báo
- Phép nhân và phép chia có thể được sử dụng để thu được các phân số tương đương vì phép nhân và phép chia ở dạng phân số của số 1 (2/2, 3/3, v.v.) cho kết quả tương đương với phân số ban đầu, theo định nghĩa. Không thể sử dụng phép cộng và phép trừ.
-
Mặc dù bạn nhân tử số và mẫu số khi nhân phân số, bạn không cộng hoặc trừ mẫu số khi cộng hoặc trừ phân số.
Ví dụ, ở trên, chúng ta biết rằng 4/8 4/4 = 1/2. Nếu chúng ta cộng với 4/4, chúng ta nhận được một câu trả lời hoàn toàn khác. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 hoặc 3/2, chúng không bằng 4/8.
