Các dẫn xuất có thể được sử dụng để lấy các đặc tính hữu ích từ đồ thị, chẳng hạn như giá trị cực đại, cực tiểu, giá trị đỉnh, đáy và độ dốc. Bạn thậm chí có thể sử dụng nó để vẽ đồ thị các phương trình phức tạp mà không cần máy tính vẽ đồ thị! Thật không may, làm việc trên các công cụ phái sinh thường tẻ nhạt, nhưng bài viết này sẽ giúp bạn với một số mẹo và thủ thuật.
Bươc chân
Bước 1. Hiểu ký hiệu dẫn xuất
Hai ký hiệu sau được sử dụng phổ biến nhất, mặc dù nhiều ký hiệu khác có thể được tìm thấy tại đây trên Wikipedia.
- Kí hiệu Leibniz Kí hiệu này là ký hiệu được sử dụng phổ biến nhất khi phương trình liên quan đến y và x. dy / dx theo nghĩa đen có nghĩa là đạo hàm của y đối với x. Có thể hữu ích nếu coi nó là y / Δx cho các giá trị rất khác nhau của x và y. Giải thích này dẫn đến định nghĩa của giới hạn đạo hàm: limh-> 0 (f (x + h) -f (x)) / h. Khi sử dụng ký hiệu này cho đạo hàm thứ hai, bạn nên viết: d2y / dx2.
- Ký hiệu Lagrange Đạo hàm của hàm f cũng được viết dưới dạng f '(x). Kí hiệu này đọc f có dấu x. Kí hiệu này ngắn hơn kí hiệu Leibniz và rất hữu ích khi xem các dẫn xuất dưới dạng hàm. Để tạo thành đạo hàm cấp lớn hơn, chỉ cần thêm 'vào f, do đó đạo hàm cấp hai sẽ là f' '(x).
Bước 2. Hiểu được ý nghĩa của đạo hàm và lý do của việc xác định gốc
Đầu tiên, để tìm hệ số góc của một đồ thị tuyến tính, hai điểm trên đường thẳng được lấy và tọa độ của chúng được nhập vào phương trình (y2 - y1)/(NS2 - NS1). Tuy nhiên, nó chỉ có thể được sử dụng cho đồ thị tuyến tính. Đối với các phương trình bậc hai trở lên, đường thẳng sẽ là một đường cong nên việc tìm hiệu giữa hai điểm không chính xác lắm. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến trong đồ thị đường cong, người ta lấy hai điểm và đưa vào phương trình tổng quát để tìm hệ số góc của đồ thị đường cong: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx biểu thị delta x, là hiệu giữa hai tọa độ x tại hai điểm của đồ thị. Lưu ý rằng phương trình này giống với (y2 - y1)/(NS2 - NS1), chỉ ở một hình thức khác. Vì biết rằng kết quả sẽ không chính xác, nên một phương pháp gián tiếp đã được áp dụng. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến trên (x, f (x)), dx phải gần bằng 0 để hai điểm đã vẽ hợp nhất thành một điểm. Tuy nhiên, bạn không thể chia 0, vì vậy khi bạn đã nhập giá trị hai điểm, bạn sẽ phải sử dụng tính toán và các phương pháp khác để loại bỏ dx khỏi cuối phương trình. Khi bạn đã hoàn thành việc đó, hãy tạo dx 0 và bạn đã hoàn tất. Đây là hệ số góc của tiếp tuyến trên (x, f (x)). Đạo hàm của phương trình là phương trình tổng quát để tìm hệ số góc của bất kỳ tiếp tuyến nào trên đồ thị. Điều này có vẻ rất phức tạp, nhưng có một số ví dụ dưới đây, sẽ giúp giải thích cách lấy đạo hàm.
Phương pháp 1/4: Phái sinh rõ ràng
Bước 1. Sử dụng một đạo hàm rõ ràng nếu phương trình của bạn đã có y ở một phía
Bµi 2. Gi¶i ph − ¬ng tr × nh [f (x + dx) - f (x)] / dx
Ví dụ, nếu phương trình là y = x2, đạo hàm sẽ là [(x + dx)2 - NS2] / dx.
Bước 3. Khai triển và loại bỏ dx để lập phương trình [dx (2x + dx)] / dx
Bây giờ, bạn có thể ép hai dx ở trên và dưới. Kết quả là 2x + dx, và khi dx tiến về 0, đạo hàm là 2x. Điều này có nghĩa là hệ số góc của bất kỳ tiếp tuyến nào của đồ thị y = x2 là 2x. Chỉ cần nhập giá trị x cho điểm mà bạn muốn tìm độ dốc.
Bước 4. Tìm hiểu các mẫu để suy ra các phương trình tương tự
Dưới đây là một số ví dụ.
- Bất kỳ số mũ nào là lũy thừa nhân với giá trị, được nâng lên lũy thừa nhỏ hơn 1. Ví dụ, đạo hàm của x5 là 5x4, và đạo hàm của x3, 5 iis3, 5x2, 5. Nếu đã có một số đứng trước x, chỉ cần nhân nó với lũy thừa. Ví dụ đạo hàm của 3x4 là 12x3.
- Đạo hàm của bất kỳ hằng số nào đều bằng không. Vì vậy, đạo hàm của 8 là 0.
- Đạo hàm của tổng là tổng của các đạo hàm tương ứng. Ví dụ, đạo hàm của x3 + 3x2 là 3x2 + 6x.
- Đạo hàm của tích là thừa số thứ nhất nhân với đạo hàm của thừa số thứ hai cộng với thừa số thứ hai nhân với đạo hàm của thừa số thứ nhất. Ví dụ, đạo hàm của x3(2x + 1) là x3(2) + (2x + 1) 3x2, bằng 8x3 + 3x2.
- Đạo hàm của thương số (giả sử, f / g) là [g (đạo hàm của f) - f (đạo hàm của g)] / g2. Ví dụ, đạo hàm của (x2 + 2x - 21) / (x - 3) là (x2 - 6x + 15) / (x - 3)2.
Phương pháp 2/4: Dẫn xuất ngầm định
Bước 1. Sử dụng các đạo hàm ngầm định nếu phương trình của bạn không thể viết được với y ở một phía
Trên thực tế, nếu bạn viết y ở một bên, việc tính toán dy / dx sẽ rất tẻ nhạt. Đây là một ví dụ về cách bạn có thể giải loại phương trình này.
Bước 2. Trong ví dụ này, x2y + 2y3 = 3x + 2y, thay y bằng f (x), vì vậy bạn sẽ nhớ rằng y thực sự là một hàm.
Khi đó phương trình trở thành x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Bước 3. Để tìm đạo hàm của phương trình này, hãy suy ra cả hai vế của phương trình đối với x
Khi đó phương trình trở thành x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Bước 4. Thay f (x) bằng y một lần nữa
Cẩn thận không thay thế f '(x), khác với f (x).
Bước 5. Tìm f '(x)
Câu trả lời cho ví dụ này trở thành (3 - 2xy) / (x2 + 6 năm2 - 2).
Phương pháp 3/4: Phái sinh bậc cao hơn
Bước 1. Lấy một hàm số bậc cao hơn có nghĩa là bạn đang lấy đạo hàm (bậc 2)
Ví dụ, nếu bài toán yêu cầu bạn lấy đạo hàm bậc ba, thì chỉ cần lấy đạo hàm của đạo hàm của đạo hàm. Đối với một số phương trình, đạo hàm cấp cao hơn sẽ bằng 0.
Phương pháp 4/4: Quy tắc chuỗi
Bước 1. Nếu y là hàm vi phân của z và z là hàm vi phân của x thì y là hàm tổng hợp của x và đạo hàm của y đối với x (dy / dx) là (dy / du) * (du / dx)
Quy tắc chuỗi cũng có thể là sự kết hợp của các phương trình lũy thừa, như sau: (2x4 - NS)3. Để tìm đạo hàm, chỉ cần nghĩ về nó giống như quy tắc nhân. Nhân phương trình với lũy thừa và giảm 1 với lũy thừa. Sau đó, nhân phương trình với đạo hàm của phương trình trong ngoặc đơn để tăng lũy thừa (trong trường hợp này là 2x ^ 4 - x). Câu trả lời cho câu hỏi này là 3 (2x4 - NS)2(8x3 - 1).
Lời khuyên
- Bất cứ khi nào bạn thấy một vấn đề khó giải quyết, đừng lo lắng. Chỉ cần cố gắng chia nó thành nhiều phần nhỏ nhất có thể bằng cách áp dụng các quy tắc nhân, thương, v.v. Sau đó, hạ từng phần xuống.
- Thực hành với quy tắc nhân, quy tắc thương, quy tắc chuỗi, và đặc biệt là đạo hàm ngầm, vì những quy tắc này khó hơn nhiều trong giải tích.
- Hiểu rõ về máy tính của bạn; thử các chức năng khác nhau trong máy tính của bạn để tìm hiểu cách sử dụng chúng. Sẽ rất hữu ích nếu biết cách sử dụng tiếp tuyến và hàm đạo hàm trong máy tính của bạn nếu chúng có sẵn.
- Ghi nhớ các đạo hàm lượng giác cơ bản và cách sử dụng chúng.
