3 cách để tính tốc độ tức thời

Mục lục:

3 cách để tính tốc độ tức thời
3 cách để tính tốc độ tức thời

Video: 3 cách để tính tốc độ tức thời

Video: 3 cách để tính tốc độ tức thời
Video: Vẽ dãy nhà phố 3 tầng hà nội bằng bút màu acrylic trên gỗ làm đồ handmade trang trí 2024, Tháng Ba
Anonim

Vận tốc được định nghĩa là tốc độ của một vật theo một hướng nhất định. Trong nhiều trường hợp, để tìm vận tốc, chúng ta có thể sử dụng phương trình v = s / t, trong đó v là vận tốc, s là tổng quãng đường mà vật đã đi được từ vị trí ban đầu và t là thời gian. Tuy nhiên, phương pháp này chỉ cho giá trị vận tốc "trung bình" của vật thể trên độ dịch chuyển của nó. Sử dụng phép tính, bạn có thể tính vận tốc của một vật tại bất kỳ điểm nào dọc theo chuyển vị của nó. Giá trị này được gọi là "vận tốc tức thời" và có thể được tính bằng phương trình v = (ds) / (dt), hay nói cách khác, là đạo hàm của phương trình vận tốc trung bình của vật.

Bươc chân

Phương pháp 1/3: Tính tốc độ tức thời

Tính vận tốc tức thời Bước 1
Tính vận tốc tức thời Bước 1

Bước 1. Bắt đầu với phương trình vận tốc chuyển dời của vật

Để nhận được giá trị của vận tốc tức thời của một vật, trước hết chúng ta phải có một phương trình mô tả vị trí của nó (về độ dời của nó) tại một thời điểm nhất định. Điều này có nghĩa là phương trình phải có một biến NS (đứng một mình) ở một bên, và NS mặt khác (nhưng không nhất thiết phải độc lập), như thế này:

s = -1,5t2+ 10t + 4

  • Trong phương trình, các biến là:

    Độ dời = s. Đó là quãng đường vật đi được từ điểm xuất phát của nó. Ví dụ, nếu một vật đi tới 10 mét về phía trước và 7 mét về phía sau, thì tổng quãng đường đi được là 10 - 7 = 3 mét (không phải 10 + 7 = 17 mét).

    Thời gian = t. Biến này tự giải thích. Thường được biểu thị bằng giây. # Lấy đạo hàm của phương trình. Đạo hàm của một phương trình là một phương trình khác có thể cho giá trị hệ số góc từ một điểm nhất định. Để tìm đạo hàm của công thức về độ dời của một vật, hãy tính đạo hàm theo quy tắc chung sau: Nếu y = a * x , Đạo hàm = a * n * xn-1. Quy tắc này áp dụng cho bất kỳ thành phần nào nằm ở phía "t" của phương trình.

    Tính vận tốc tức thời Bước 2
    Tính vận tốc tức thời Bước 2
  • Nói cách khác, hãy bắt đầu bằng cách giảm dần vế "t" của phương trình từ trái sang phải. Mỗi khi bạn đạt đến giá trị "t", hãy trừ đi 1 từ giá trị số mũ và nhân tổng với số mũ ban đầu. Mọi hằng số (biến không chứa "t") sẽ bị mất vì chúng được nhân với 0. Quá trình này không khó như người ta nghĩ, hãy lấy phương trình ở bước trên làm ví dụ:
  • s = -1,5t2+ 10t + 4

    (2) -1,5t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0

    -3t1 + 10t0

    - 3t + 10

Tính vận tốc tức thời Bước 3
Tính vận tốc tức thời Bước 3

Bước 2. Thay thế biến "s" bằng "ds / dt

"Để chứng tỏ rằng phương trình mới của bạn là đạo hàm của phương trình trước đó, hãy thay" s "bằng" ds / dt ". Về mặt kỹ thuật, ký hiệu này có nghĩa là" đạo hàm của s so với t. "Một cách đơn giản hơn để hiểu điều này là ds / dt là giá trị của độ dốc (độ dốc) tại bất kỳ điểm nào trong phương trình đầu tiên, ví dụ, để xác định độ dốc của một đường được vẽ từ phương trình s = -1,5t2 + 10t + 4 tại t = 5, ta có thể điền giá trị "5" vào phương trình đạo hàm.

  • Trong ví dụ được sử dụng, phương trình đạo hàm cấp một bây giờ sẽ giống như sau:
  • ds / giây = -3t + 10

Tính vận tốc tức thời Bước 4
Tính vận tốc tức thời Bước 4

Bước 3. Cắm giá trị của t vào phương trình mới nhận được giá trị vận tốc tức thời

Bây giờ bạn đã có phương trình đạo hàm, thật dễ dàng để tìm vận tốc tức thời tại bất kỳ điểm nào. Tất cả những gì bạn cần làm là chọn một giá trị cho t và đưa nó vào phương trình đạo hàm của bạn. Ví dụ, nếu bạn muốn tìm vận tốc tức thời tại t = 5, bạn có thể thay giá trị của t bằng "5" trong phương trình đạo hàm ds / dt = -3 + 10. Sau đó giải phương trình như sau:

ds / giây = -3t + 10

ds / giây = -3 (5) + 10

ds / giây = -15 + 10 = - 5 mét / giây

Lưu ý rằng đơn vị được sử dụng ở trên là "mét / giây". Bởi vì những gì chúng ta tính toán là độ dịch chuyển bằng mét và thời gian tính bằng giây (giây) và vận tốc nói chung là độ dịch chuyển trong một thời gian nhất định, nên đơn vị này thích hợp để sử dụng

Phương pháp 2/3: Ước tính tốc độ tức thời bằng đồ họa

Tính vận tốc tức thời Bước 5
Tính vận tốc tức thời Bước 5

Bước 1. Vẽ biểu đồ độ dời của vật theo thời gian

Trong phần trên, đạo hàm được đề cập đến như là công thức tìm hệ số góc tại một điểm cho trước của phương trình mà bạn đang suy ra. Trên thực tế, nếu bạn biểu diễn độ dịch chuyển của một đối tượng dưới dạng một đường trên đồ thị, thì "hệ số góc của đường tại tất cả các điểm đều bằng giá trị của vận tốc tức thời của nó tại điểm đó."

  • Để mô tả độ dời của một vật, sử dụng x để biểu thị thời gian và y để biểu thị độ dời. Sau đó, vẽ các điểm, thêm giá trị của t vào phương trình của bạn, do đó nhận được giá trị của s cho đồ thị của bạn, đánh dấu t, s trong đồ thị là (x, y).
  • Lưu ý rằng biểu đồ của bạn có thể kéo dài bên dưới trục x. Nếu đường biểu diễn chuyển động của đối tượng của bạn chạm đến bên dưới trục x, điều đó có nghĩa là đối tượng đã di chuyển ngược lại so với vị trí ban đầu của nó. Nói chung, đồ thị của bạn sẽ không đạt đến phía sau của trục y - bởi vì chúng tôi không đo vận tốc của một đối tượng đang di chuyển trong quá khứ!
Tính vận tốc tức thời Bước 6
Tính vận tốc tức thời Bước 6

Bước 2. Chọn một điểm P và Q liền kề trên đường thẳng

Để có được độ dốc của đoạn thẳng tại điểm P, chúng ta có thể sử dụng một mẹo gọi là "lấy giới hạn". Lấy giới hạn liên quan đến hai điểm (P và Q, một điểm gần đó) trên đường cong và tìm độ dốc của đường bằng cách nối chúng nhiều lần cho đến khi khoảng cách P và Q gần nhau hơn.

Giả sử đường dịch chuyển của đối tượng chứa các giá trị (1, 3) và (4, 7). Trong trường hợp này, nếu chúng ta muốn tìm hệ số góc tại điểm (1, 3), chúng ta có thể xác định (1, 3) = P(4, 7) = Q.

Tính vận tốc tức thời Bước 7
Tính vận tốc tức thời Bước 7

Bước 3. Tìm hệ số góc giữa P và Q

Hệ số góc giữa P và Q là sự khác biệt về giá trị y đối với P và Q dọc theo chênh lệch giá trị trục x đối với P và Q. Nói cách khác, H = (yNS - yP)/(NSNS - NSP), với H là hệ số góc giữa hai điểm. Trong ví dụ của chúng tôi, giá trị của độ dốc giữa P và Q là

H = (yNS- yP)/(NSNS- NSP)

H = (7 - 3) / (4 - 1)

H = (4) / (3) = 1.33

Tính vận tốc tức thời Bước 8
Tính vận tốc tức thời Bước 8

Bước 4. Lặp lại vài lần, di chuyển Q gần P hơn

Mục tiêu của bạn là giảm khoảng cách giữa P và Q để giống với một dấu chấm. Khoảng cách giữa P và Q càng gần, độ dốc của đường thẳng tại điểm P. càng gần, hãy làm điều này vài lần với phương trình được sử dụng làm ví dụ, sử dụng các điểm (2, 4,8), (1,5, 3,95) và (1,25, 3,49) là Q và điểm bắt đầu (1, 3) là P:

Q = (2, 4,8):

H = (4,8 - 3) / (2 - 1)

H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5, 3,95):

H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)

H = (.95) / (. 5) = 1.9

Q = (1,25, 3,49):

H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)

H = (.49) / (. 25) = 1.96

Tính vận tốc tức thời Bước 9
Tính vận tốc tức thời Bước 9

Bước 5. Ước lượng độ dốc của đoạn thẳng trong một khoảng cách rất nhỏ

Khi Q càng gần P, H càng gần giá trị của hệ số góc của điểm P. Cuối cùng, khi nó đạt đến một giá trị rất nhỏ, H bằng hệ số góc của P. Vì chúng ta không thể đo hoặc tính được những khoảng cách rất nhỏ, chúng ta chỉ có thể ước lượng độ dốc trên P sau khi nó rõ ràng từ điểm chúng ta đang cố gắng.

  • Trong ví dụ, khi chúng ta di chuyển Q đến gần P hơn, chúng ta nhận được các giá trị 1,8, 1,9 và 1,96 cho H. Vì những con số này gần bằng 2, chúng ta có thể nói rằng 2 là hệ số góc gần đúng của P.
  • Hãy nhớ rằng hệ số góc tại bất kỳ điểm nào trên đường thẳng đều bằng đạo hàm của phương trình của đường thẳng. Vì đường thẳng được sử dụng cho biết độ dịch chuyển của một vật thể theo thời gian và vì như chúng ta đã thấy ở phần trước, vận tốc tức thời của một vật thể là đạo hàm của độ dịch chuyển của nó tại một điểm nhất định, chúng ta cũng có thể phát biểu rằng "2 mét / giây”là giá trị gần đúng của vận tốc tức thời lúc t = 1.

Phương pháp 3/3: Câu hỏi mẫu

Tính vận tốc tức thời Bước 10
Tính vận tốc tức thời Bước 10

Bước 1. Tìm giá trị của vận tốc tức thời lúc t = 4, từ phương trình độ dời s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9.

Bài toán này cũng giống như ví dụ ở phần đầu, chỉ khác là phương trình này là một phương trình lập phương, không phải là một phương trình lũy thừa, vì vậy chúng ta có thể giải bài toán này theo cách tương tự.

  • Đầu tiên, chúng ta lấy đạo hàm của phương trình:
  • s = 5t3- 3t2+ 2t + 9

    s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1

    15t(2) - 6t(1) + 2t(0)

    15t(2) - 6t + 2

  • Sau đó, nhập giá trị của t (4):
  • s = 15t(2)- 6t + 2

    15(4)(2)- 6(4) + 2

    15(16) - 6(4) + 2

    240 - 24 + 2 = 22 mét / giây

Tính vận tốc tức thời Bước 11
Tính vận tốc tức thời Bước 11

Bước 2. Sử dụng ước lượng bằng đồ thị để tìm vận tốc tức thời tại (1, 3) cho phương trình chuyển vị s = 4t2 - NS.

Đối với bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng (1, 3) làm điểm P, nhưng chúng ta phải xác định một điểm khác kề với điểm đó là điểm Q. Sau đó chúng ta chỉ cần xác định giá trị của H và ước lượng.

  • Đầu tiên, tìm giá trị của Q đầu tiên tại t = 2, 1,5, 1,1 và 1,01.
  • s = 4t2- NS

    t = 2:

    s = 4 (2)2- (2)

    4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, vì vậy Q = (2, 14)

    t = 1,5:

    s = 4 (1,5)2 - (1.5)

    4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, như vậy Q = (1,5, 7,5)

    t = 1,1:

    s = 4 (1,1)2 - (1.1)

    4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, do đó Q = (1,1, 3,74)

    t = 1,01:

    s = 4 (1,01)2 - (1.01)

    4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, do đó Q = (1,01, 3,0704)

  • Sau đó, xác định giá trị của H:
  • Q = (2, 14):

    H = (14 - 3) / (2 - 1)

    H = (11) / (1) =

    Bước 11.

    Q = (1,5, 7,5):

    H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)

    H = (4,5) / (. 5) =

    Bước 9.

    Q = (1,1, 3,74):

    H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)

    H = (.74) / (. 1) = 7.3

    Q = (1,01, 3,0704):

    H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)

    H = (.0704) / (. 01) = 7.04

  • Vì giá trị của H rất gần với 7, chúng ta có thể phát biểu rằng 7 mét / giâylà vận tốc tức thời gần đúng tại (1, 3).

Lời khuyên

  • Để tìm giá trị của gia tốc (sự thay đổi của vận tốc theo thời gian), sử dụng phương pháp trong phần đầu tiên để có được phương trình đạo hàm của hàm độ dời. Sau đó, tạo lại phương trình dẫn xuất, lần này là từ phương trình dẫn xuất của bạn. Điều này sẽ cung cấp cho bạn phương trình để tìm gia tốc tại bất kỳ thời điểm nhất định nào, tất cả những gì bạn phải làm là nhập giá trị thời gian của mình.
  • Phương trình liên hệ giá trị của Y (độ dời) với X (thời gian) có thể rất đơn giản, ví dụ Y = 6x + 3. Trong trường hợp này, giá trị hệ số góc là không đổi, và không cần tìm đạo hàm để tính toán., trong đó theo phương trình của một đường thẳng, Y = mx + b sẽ bằng 6.
  • Độ dời tương tự như khoảng cách, nhưng có hướng, do đó độ dời là một đại lượng vectơ, trong khi khoảng cách là một đại lượng vô hướng. Giá trị dịch chuyển có thể âm, nhưng khoảng cách sẽ luôn dương.

Đề xuất: