Vectơ là một đại lượng vật lý có cả độ lớn và hướng (ví dụ: vận tốc, gia tốc và độ dịch chuyển), trái ngược với một đại lượng vô hướng chỉ bao gồm độ lớn (ví dụ: tốc độ, khoảng cách hoặc năng lượng). Nếu các đại lượng vô hướng có thể được thêm vào bằng cách thêm các cường độ (ví dụ: công 5 kJ cộng với công 6 kJ bằng 11 kJ công), thì các vectơ sẽ hơi phức tạp để cộng hoặc trừ. Xem Bước 1 bên dưới để tìm hiểu một số cách cộng hoặc trừ vectơ.
Bươc chân
Phương pháp 1 trong 3: Thêm và trừ các vectơ có các thành phần đã biết
Bước 1. Viết các thành phần chiều của vectơ dưới dạng ký hiệu vectơ
Vì vectơ có độ lớn và hướng, chúng thường có thể được chia thành các phần dựa trên các kích thước x, y và / hoặc z. Các kích thước này thường được viết bằng một ký hiệu tương tự để mô tả một điểm trong hệ tọa độ (ví dụ và các kích thước khác). Nếu bạn biết phần này, việc cộng hoặc trừ các vectơ rất dễ dàng, chỉ cần cộng hoặc trừ các tọa độ x, y và z của chúng.
- Chú ý xem các kích thước của vectơ là 1, 2 hoặc 3. Như vậy, vectơ có thể có các thành phần x, x và y hoặc x, y và z. Ví dụ sau đây của chúng tôi sử dụng một vectơ 3 chiều, nhưng quá trình này giống như một vectơ 1 hoặc 2 chiều.
- Giả sử chúng ta có hai vectơ 3 chiều, vectơ A và vectơ B. Chúng ta có thể viết các vectơ này bằng cách sử dụng ký hiệu vectơ như A = và B =, trong đó a1 và a2 là thành phần x, b1 và b2 là thành phần y, và c1 và c2 là các thành phần z.
Bước 2. Để thêm hai vectơ, hãy cộng các thành phần của chúng
Nếu hai thành phần của một vectơ đã biết, bạn có thể thêm các vectơ bằng cách thêm các thành phần của mỗi thành phần. Nói cách khác, thêm thành phần x của vectơ đầu tiên vào thành phần x của vectơ thứ hai và thực hiện tương tự đối với y và z. Câu trả lời bạn nhận được khi cộng các thành phần x, y và z của các vectơ đó là các thành phần x, y và z của vectơ mới của bạn.
- Trong các điều khoản chung, A + B =.
- Hãy cộng hai vectơ A và B. A = và B =. A + B =, hoặc.
Bước 3. Để trừ cả hai vectơ, hãy trừ các thành phần của chúng
Như chúng ta sẽ thảo luận ở phần sau, việc trừ một vectơ này với một vectơ khác, có thể được coi là cộng các vectơ tương hỗ của nó. Nếu biết các thành phần của cả hai vectơ, có thể trừ một vectơ này khỏi một vectơ khác bằng cách trừ thành phần đầu tiên khỏi thành phần thứ hai (hoặc bằng cách cộng các thành phần phủ định của cả hai).
- Trong các điều khoản chung, A-B =
- Hãy trừ hai vectơ A và B. A = và B =. A - B =, hoặc.
Phương pháp 2/3: Thêm và trừ với hình ảnh bằng phương pháp đầu và đuôi
Bước 1. Ký hiệu vector bằng cách vẽ nó bằng cách sử dụng đầu và đuôi
Vì vectơ có cả độ lớn và hướng, nên chúng ta có thể nói chúng có đuôi và đầu. Nói cách khác, một vectơ có điểm đầu và điểm cuối chỉ phương của vectơ mà khoảng cách từ điểm bắt đầu bằng độ lớn của vectơ. Khi được vẽ, vector có hình dạng của một mũi tên. Đầu của mũi tên là đầu của vectơ và cuối của dòng vectơ là đuôi.
Nếu bạn đang tạo một bản vẽ vectơ với các kích thước, bạn sẽ cần đo và vẽ chính xác tất cả các góc. Góc ảnh sai sẽ ảnh hưởng đến kết quả thu được khi cộng hoặc trừ hai vectơ bằng phương pháp này
Bước 2. Để thêm, vẽ hoặc di chuyển vectơ thứ hai sao cho phần đuôi gặp phần đầu của vectơ đầu tiên
Điều này được gọi là kết hợp các vectơ đầu đến đuôi. Nếu bạn chỉ cộng hai vectơ, đây là những gì bạn cần làm trước khi tìm thấy vectơ kết quả.
Lưu ý rằng thứ tự mà bạn thêm vectơ không quan trọng, giả sử bạn sử dụng cùng một điểm xuất phát. Vectơ A + Vectơ B = Vectơ B + Veltor A
Bước 3. Để trừ, hãy thêm một dấu âm vào vectơ
Giảm vectơ bằng cách sử dụng hình ảnh rất đơn giản. Đảo ngược hướng vectơ, nhưng giữ nguyên độ lớn và thêm đầu và đuôi vectơ của bạn như bình thường. Nói cách khác, để trừ một vectơ, hãy xoay vectơ 180o và cộng lại.
Bước 4. Nếu bạn thêm hoặc trừ nhiều hơn hai vectơ, hãy kết hợp tất cả các vectơ theo thứ tự từ đầu đến đuôi
Thứ tự hợp nhất không quan trọng. Phương pháp này có thể được sử dụng bất kể số lượng vectơ.
Bước 5. Vẽ một vectơ mới từ đuôi của vectơ đầu tiên đến đầu của vectơ cuối cùng
Cho dù bạn đang cộng / trừ hai vectơ hay một trăm, vectơ kéo dài từ điểm xuất phát ban đầu của bạn (đuôi của vectơ đầu tiên) đến điểm cuối của vectơ cuối cùng (đầu của vectơ cuối cùng của bạn) là vectơ kết quả hoặc tổng của tất cả các vectơ của bạn. Lưu ý rằng vectơ này hoàn toàn giống với vectơ thu được bằng cách cộng tất cả các thành phần x, y và / hoặc z.
- Nếu bạn vẽ tất cả các vectơ của mình theo kích thước, bằng cách đo tất cả các góc một cách chính xác, bạn có thể xác định độ lớn của vectơ kết quả bằng cách đo độ dài. Bạn cũng có thể đo góc giữa kết quả và bất kỳ vectơ nào theo chiều ngang hoặc chiều dọc để xác định hướng của nó.
- Nếu bạn không vẽ tất cả các vectơ của mình theo kích thước, bạn có thể phải tính toán độ lớn của kết quả bằng cách sử dụng lượng giác. Có thể Quy tắc sin và Cosine sẽ hữu ích. Nếu bạn thêm nhiều hơn hai vectơ, sẽ hữu ích khi thêm vectơ đầu tiên vào vectơ thứ hai, sau đó thêm kết quả của vectơ thứ hai vào thứ ba, v.v. Xem các phần sau để biết thêm thông tin.
Bước 6. Vẽ vectơ kết quả của bạn bằng cách sử dụng độ lớn và hướng của nó
Một vectơ được xác định bởi độ dài và hướng của nó. Như trên, giả sử bạn đã vẽ chính xác vectơ của mình, độ lớn của vectơ mới của bạn là chiều dài và hướng của nó là góc so với hướng thẳng đứng hoặc nằm ngang. Sử dụng các vectơ đơn vị mà bạn thêm hoặc trừ để xác định các đơn vị cho độ lớn của vectơ kết quả của bạn.
Ví dụ: nếu các vectơ được thêm vào biểu thị vận tốc tính bằng mili giây-1, thì vectơ kết quả có thể được định nghĩa là "tốc độ x ms-1 chống lại y o theo hướng ngang.
Phương pháp 3/3: Thêm và trừ vectơ bằng cách chỉ định các thành phần thứ nguyên của vectơ
Bước 1. Sử dụng lượng giác để xác định các thành phần của một vectơ
Để tìm các thành phần của một vectơ, bạn thường cần biết độ lớn và hướng của nó so với phương ngang hoặc phương thẳng đứng và hiểu lượng giác. Giả sử vectơ 2 chiều, trước tiên, hãy nghĩ vectơ của bạn là cạnh huyền của một tam giác vuông có hai cạnh song song với các hướng x và y. Hai cạnh này có thể được coi là các thành phần của một vectơ từ đầu đến đuôi cộng lại để tạo thành vectơ của bạn.
- Độ dài của cả hai cạnh bằng thành phần x và y của vectơ của bạn và có thể được tính bằng lượng giác. Nếu x là độ lớn vectơ thì cạnh tiếp giáp với góc vectơ (so với phương ngang, phương thẳng đứng và các hướng khác) là xcos (θ), trong khi phía đối diện là xsin (θ).
- Điều rất quan trọng là phải lưu ý hướng của các thành phần của bạn. Nếu thành phần hướng đến một tọa độ âm, nó được cho là một dấu âm. Ví dụ, trong mặt phẳng 2 chiều, nếu một thành phần hướng sang trái hoặc hướng xuống, nó là âm.
- Ví dụ, giả sử chúng ta có một vectơ có độ lớn 3 và hướng 135o so với phương ngang. Với thông tin này, chúng ta có thể xác định rằng thành phần x là 3cos (135) = - 2, 12 và thành phần y là 3sin (135) = 2, 12
Bước 2. Cộng hoặc trừ hai hoặc nhiều vectơ có liên quan
Khi bạn đã tìm thấy các thành phần của tất cả các vectơ của mình, hãy thêm chúng để tìm các thành phần của vectơ kết quả của bạn. Đầu tiên, cộng tất cả độ lớn của các thành phần nằm ngang (song song với phương x). Riêng biệt, cộng tất cả các độ lớn của các thành phần thẳng đứng (song song với phương y). Nếu một thành phần là âm (-), độ lớn của nó sẽ bị trừ đi, không được thêm vào. Câu trả lời bạn nhận được là thành phần của vectơ kết quả của bạn.
Ví dụ: vectơ từ bước trước, được thêm vào vectơ. Trong trường hợp này, vectơ kết quả trở thành hoặc
Bước 3. Tính độ lớn của vectơ kết quả bằng cách sử dụng Định lý Pitago
Định lý Pitago c2= a2+ b2, được sử dụng để tìm độ dài của cạnh của một tam giác vuông. Vì tam giác được tạo thành bởi vectơ kết quả của chúng ta và các thành phần của nó là một tam giác vuông, chúng ta có thể sử dụng nó để tìm độ dài và độ lớn của vectơ. Với c là độ lớn của vectơ kết quả mà bạn đang tìm, giả sử a là độ lớn của thành phần x và b là độ lớn của thành phần y. Giải bằng cách sử dụng đại số.
-
Để tìm độ lớn của vectơ có các thành phần mà chúng ta đã tìm kiếm ở bước trước, hãy sử dụng Định lý Pitago. Giải quyết như sau:
- NS2=(3, 66)2+(-6, 88)2
- NS2=13, 40+47, 33
- c = √60, 73 = 7, 79
Bước 4. Tính toán hướng kết quả bằng cách sử dụng hàm Tangent
Cuối cùng, tìm vectơ kết quả của hướng. Sử dụng công thức = tan-1(b / a), trong đó kích thước của góc tạo thành theo phương x hoặc phương ngang, b là kích thước của thành phần y và a là kích thước của thành phần x.
-
Để tìm hướng của vectơ, hãy sử dụng = tan-1(ba).
- = tan-1(-6, 88/3, 66)
- = tan-1(-1, 88)
- = -61, 99o
Bước 5. Vẽ vectơ kết quả của bạn theo độ lớn và hướng của nó
Như đã viết ở trên, vectơ được xác định bởi độ lớn và hướng của chúng. Đảm bảo sử dụng các đơn vị thích hợp cho kích thước vectơ của bạn.
Ví dụ: nếu ví dụ vectơ của chúng tôi đại diện cho một lực (bằng Newton), thì chúng tôi có thể viết nó "lực 7,79 N x -61,99 o sang ngang ".
Lời khuyên
- Vector khác với lớn.
- Các vectơ có cùng hướng có thể được cộng hoặc trừ bằng cách cộng hoặc trừ độ lớn của chúng. nếu bạn Tổng hợp hai vectơ đối nhau thì độ lớn của chúng bị trừ, không được cộng.
- Các vectơ biểu diễn dưới dạng x i + y j + z k có thể được cộng hoặc trừ bằng cách cộng hoặc trừ các hệ số của ba vectơ đơn vị. Câu trả lời cũng ở dạng i, j và k.
- Bạn có thể tìm kích thước của vectơ ba chiều bằng công thức a2= b2+ c2+ d2 trong đó a là độ lớn của vectơ, và b, c và d là các thành phần của mỗi hướng.
- Các vectơ cột có thể được cộng và trừ bằng cách cộng hoặc trừ các giá trị của mỗi hàng.
