Mặc dù đôi khi nó có vẻ khó khăn, nhưng vấn đề căn bậc hai thực sự không khó để giải quyết. Các bài toán căn bậc hai đơn giản thường có thể được giải dễ dàng như các bài toán nhân và chia cơ bản. Đối với những câu hỏi phức tạp hơn, bạn phải nỗ lực thêm một chút. Nhưng với cách tiếp cận đúng đắn, bất kỳ vấn đề khó khăn nào cũng có thể được giải quyết. Thông qua bài viết này, chúng tôi sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề căn bậc hai trong một vài bước đơn giản.
Bươc chân
Phần 1/3: Tìm hiểu Hình vuông và Rễ Hình vuông
Bước 1. Hình vuông là số nhân với chính số đó
Để hiểu căn bậc hai, tốt hơn hết là bạn phải hiểu ý nghĩa của bình phương trước. Nói một cách đơn giản, một hình vuông là một số nhân với chính số đó. Ví dụ: 3 bình phương là 3 nhân 3 = 9 và 9 bình phương là 9 nhân 9 = 81. Hình vuông được biểu diễn bằng số 2 nhỏ ở trên cùng bên phải của số bình phương - như thế này: 32, 92, 1002, Vân vân.
Hãy thử bình phương một số con số khác để kiểm tra khái niệm này. Hãy nhớ rằng, bình phương một số là nhân một số với chính nó. Bạn thậm chí có thể bình phương số âm. Kết quả sẽ luôn là một số dương. Ví dụ, -82 = -8 × -8 = 64.
Bước 2. Căn bậc hai là nghịch đảo của bình phương
Biểu tượng cho căn bậc hai (√, còn được gọi là ký hiệu "căn") về cơ bản là đối lập với ký hiệu 2. Khi bạn tìm thấy một căn, hãy tự hỏi: con số nào, nếu bình phương, sẽ dẫn đến con số bên trong căn số nào? Ví dụ, nếu bạn nhìn vào √ (9), hãy tìm số mà khi bình phương là chín. Như vậy, câu trả lời là "ba", bởi vì 32 = 9.
-
Ví dụ khác, hãy thử tìm căn bậc hai của 25 (√ (25)). Đó là, chúng ta đang tìm một số mà khi bình phương, kết quả là 25. Bởi vì 52 = 5 × 5 = 25, thì (25) =
Bước 5..
-
Căn bậc hai cũng có thể được coi là "hoàn tác" bình phương. Ví dụ, nếu chúng ta muốn tìm (64), căn bậc hai của 64, thì hãy nghĩ 64 là 82. Vì biểu tượng căn bậc hai về cơ bản "phủ định" biểu tượng bình phương, do đó (64) = (82) =
Bước 8..
Bước 3. Biết sự khác biệt giữa hình vuông hoàn hảo và không hoàn hảo
Cho đến bây giờ, kết quả của các phép tính căn bậc hai của chúng tôi là số nguyên. Những câu hỏi mà bạn sẽ phải đối mặt sau này sẽ không dễ dàng như vậy, sẽ có những câu hỏi có đáp án là số thập phân với một vài chữ số đằng sau dấu phẩy. Các số được làm tròn sau khi bình phương (nghĩa là không phải số thập phân hoặc số thập phân) cũng được gọi là “hình vuông hoàn hảo”. Tất cả các ví dụ trước (9, 25 và 64) đều là bình phương hoàn hảo vì nếu chúng bình phương, kết quả là một số nguyên (3, 5 và 8).
Mặt khác, các số không được làm tròn sau khi được bình phương, là "hình vuông không hoàn hảo". Thông thường, sau khi bình phương kết quả là số thập phân hoặc số thập phân. Đôi khi ngay cả những con số trông rất phức tạp, như (13) = 3, 605551275464…
Bước 4. Ghi nhớ bình phương của các số 1-12
Như bạn đã biết, bình phương một số bình phương hoàn hảo là rất dễ dàng. Việc ghi nhớ các ô vuông của các số từ 1-12 có thể rất hữu ích vì những con số này sẽ xuất hiện rất nhiều trong bài toán. Vì vậy, bạn sẽ tiết kiệm thời gian trong khi làm việc với các câu hỏi. 12 số bình phương đầu tiên là::
-
12 = 1 × 1 =
Bước 1.
-
22 = 2 × 2 =
Bước 4.
-
32 = 3 × 3 =
Bước 9.
-
42 = 4 × 4 =
Bước 16.
-
52 = 5 × 5 =
Bước 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Bước 5. Đơn giản hóa căn bậc hai bằng cách loại bỏ các hình vuông hoàn hảo
Việc tìm căn bậc hai của một số bình phương không hoàn hảo có thể khó khăn, đặc biệt nếu bạn không sử dụng máy tính bỏ túi. Tuy nhiên, số bình phương có thể được đơn giản hóa để dễ tính toán hơn. Để làm điều này, chỉ cần tách số bên trong căn thành nhiều thừa số, sau đó loại bỏ căn bậc hai của các số bình phương hoàn hảo và viết câu trả lời bên ngoài căn. Phương pháp này khá dễ thực hiện - để bạn hiểu rõ hơn, đây là giải thích thêm:
- Giả sử chúng ta muốn tính căn bậc hai của 900. Vì vậy, chỉ cần chia 900 thành các thừa số của nó. "Yếu tố" là các số có thể được nhân với nhau để tạo ra một số khác. Ví dụ, số 6 có thể nhận được bằng cách nhân với 1 × 6 và 2 × 3, do đó các thừa số của 6 là 1, 2, 3 và 6.
- Với nguyên tắc đó, hãy chia nhỏ 900 thành các yếu tố của nó. Để bắt đầu, chúng ta viết 900 là 9 × 100. Vì 9 là một hình vuông hoàn hảo, chúng ta có thể lấy căn bậc hai của 100 một cách riêng biệt. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Nói cách khác, (900) = 3√(100).
-
Chúng ta có thể đơn giản hóa nó hơn nữa bằng cách tách 100 thành các thừa số của nó, cụ thể là 25 và 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Do đó, có thể tính được (900) = 3 (10) =
Bước 30..
Bước 6. Sử dụng một số ảo cho căn bậc hai của một số âm
Hãy nghĩ xem, con số nào nếu bình phương kết quả là -16? Câu trả lời, không. Tất cả các số bình phương cho kết quả luôn là số dương, vì nó là số âm (-), khi nhân với số âm thì kết quả là số dương (+). Vì vậy, để bình phương một số âm, chúng ta cần thay thế số âm bằng một số tưởng tượng (thường ở dạng chữ cái hoặc ký hiệu). Ví dụ, biến "i" thường được sử dụng cho căn bậc hai của -1. Một số ảo luôn là căn bậc hai của một số âm.
Cần lưu ý rằng mặc dù số ảo không bao giờ được biểu diễn bằng số, chúng vẫn có thể được coi là số theo nhiều cách khác nhau. Ví dụ, căn bậc hai của một số âm có thể được bình phương, để loại bỏ căn bậc hai. Ví dụ, tôi2 = - 1
Phần 2/3: Sử dụng thuật toán kiểu chia dài
Bước 1. Giải các bài toán về căn bậc hai như các bài toán chia dài
Mặc dù tốn nhiều thời gian nhưng các bài toán khó về căn bậc hai có thể được giải quyết mà không cần máy tính. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng một phương pháp (hoặc thuật toán) tương tự như phân chia ngăn xếp dài.
- Bắt đầu bằng cách viết bài toán căn bậc hai như bạn làm bài toán chia dài. Như một bài toán ví dụ, hãy tìm căn của 6, 45, không phải là một số nguyên. Đầu tiên, chúng ta viết ký hiệu căn (√), sau đó bên dưới nó, chúng ta viết số chúng ta muốn lấy bình phương. Sau đó, vẽ một đường thẳng trên các con số, giống như cách phân chia xếp chồng dài. Bây giờ, biểu tượng "√" trông giống như nó có đuôi với số 6,45 ở dưới cùng.
- Chúng tôi sẽ viết các con số phía trên vấn đề, vì vậy hãy đảm bảo rằng bạn để lại một khoảng trống.
Bước 2. Nhóm các chữ số của số thành từng cặp
Đầu tiên, nhóm các chữ số của số dưới căn thành từng cặp, bắt đầu từ dấu thập phân. Tạo một số loại điểm đánh dấu (dấu chấm, dấu phẩy, dòng, v.v.) giữa các cặp để dễ theo dõi.
Trong bài toán ví dụ, 6, 45 sẽ được chia thành 6-, 45-00. Hãy nhớ rằng có các chữ số "còn lại" ở bên trái - đây không phải là vấn đề.
Bước 3. Tìm số lớn nhất có giá trị bình phương nhỏ hơn hoặc bằng nhóm thứ nhất
Bắt đầu với số đầu tiên trong nhóm bên trái. Chọn số lớn nhất có giá trị bình phương nhỏ hơn hoặc bằng trong nhóm. Ví dụ: nếu nhóm là 37, thì hãy chọn 6 vì 62 = 36 <37 nhưng 72 = 49> 37. Viết số này lên trên nhóm thứ nhất. Con số này là chữ số đầu tiên trong câu trả lời của bạn.
-
Trong bài toán ví dụ, nhóm đầu tiên của 6-, 45-00 là 6. Số lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng 6 khi bình phương là
Bước 2. - 22 = 4. Viết số "2" trên 6 và đuôi là một căn.
Bước 4. Nhân với số bạn vừa viết ra, sau đó hạ xuống rồi trừ đi
Lấy chữ số đầu tiên của câu trả lời của bạn (được viết ở trên căn) và nhân nó. Viết câu trả lời dưới nhóm đầu tiên và trừ để tìm sự khác biệt. Thả nhóm tiếp theo vào bên phải của sự khác biệt mà bạn vừa tính toán. Cuối cùng, viết chữ số cuối cùng của nhân với chữ số đầu tiên trong câu trả lời của bạn ở bên trái và để trống ở bên phải.
Trong bài toán ví dụ, số nhân đôi là 2 (chữ số đầu tiên của câu trả lời trước đó). 2 × 2 = 4. Sau đó, trừ 4 đi 6 (từ nhóm đầu tiên). 6 - 4 kết quả là 2. Tiếp theo, hạ nhóm tiếp theo (45) xuống ta được 245. Cuối cùng, viết tiếp số 4 vào bên trái và chừa một ít khoảng trống bên phải, như thế này: 4_
Bước 5. Điền vào chỗ trống
Thêm các chữ số vào bên phải của số bạn đã viết ở bên trái. Chọn chữ số cho giá trị lớn nhất khi nhân với số mới này, nhưng vẫn nhỏ hơn hoặc bằng "số bắt nguồn". Ví dụ: nếu “số bắt nguồn” là 1700 và số bên trái của bạn là 40_, thì số sẽ được nhập là "4" vì 404 × 4 = 1616 <1700, trong khi 405 × 5 = 2025. Số được tìm thấy trong bước này là chữ số thứ hai trong câu trả lời của bạn, vì vậy hãy viết nó phía trên ký hiệu cấp tiến.
-
Trong bài toán ví dụ, chúng ta sẽ tìm số bên cạnh 4_ × _ có câu trả lời là số lớn nhất nhưng nhỏ hơn hoặc bằng 245. Câu trả lời là
Bước 5.. 45 × 5 = 225, trong khi 46 × 6 = 276.
Bước 6. Tiếp tục sử dụng các số "khoảng trống" để tìm câu trả lời của bạn
Tiếp tục mô hình chia xếp chồng dài cho đến khi hiệu số giữa các phép trừ của các số được suy ra bằng 0 hoặc thu được một số khá chính xác. Khi bạn hoàn thành, các số bạn đã sử dụng để điền vào chỗ trống trong mỗi bước (cộng với số đầu tiên bạn đã sử dụng) tạo nên mỗi chữ số trong câu trả lời của bạn.
-
Trong bài toán ví dụ, trừ 245 đi 220 để được 20. Tiếp theo, chúng ta sẽ hạ thấp nhóm chữ số tiếp theo, 00 và nhận được 2000. Nhân số phía trên ký hiệu căn, ta được 25 × 2 = 50. Để điền trong ô trống ở 50_ × _ = / <2, 000, chúng tôi nhận được số
Bước 3.. Bây giờ, chúng ta đã có "253" phía trên ký hiệu gốc - lặp lại quá trình này một lần nữa và lấy 9 ở chữ số tiếp theo.
Bước 7. Bỏ dấu thập phân khỏi gốc
Để có câu trả lời cuối cùng, hãy đặt dấu thập phân vào đúng vị trí. Thật dễ dàng - chỉ cần đặt dấu thập phân thẳng hàng với dấu thập phân bên dưới biểu tượng căn. Ví dụ: số bên dưới căn là 49, 8, vì vậy hãy đặt một dấu thập phân giữa các số trên 8 và 9.
Trong bài toán ví dụ, nếu số dưới căn là 6, 45, thì dấu thập phân sẽ nằm ở dòng giữa các chữ số 2 và 5. Điều này có nghĩa là câu trả lời cuối cùng là 2, 539.
Phần 3/3: Ước tính nhanh các hình vuông không hoàn hảo
Bước 1. Tìm hình vuông không hoàn hảo bằng cách sử dụng tính gần đúng
Khi bạn đã ghi nhớ các hình vuông hoàn hảo, việc tìm kiếm các hình vuông không hoàn hảo sẽ dễ dàng hơn nhiều. Bí quyết là tìm một hình vuông hoàn hảo trước và sau số bạn đang tìm. Sau đó, xác định xem hình vuông nào trong hai hình vuông hoàn hảo gần nhất với số bạn đang tìm.
Ví dụ, chúng ta muốn tìm căn bậc hai của 40. Số bình phương hoàn hảo trước và sau 40 là 62 và 72, là 36 và 49. Vì 40 lớn hơn 36 và nhỏ hơn 49 nên căn bậc hai của 40 phải từ 6 đến 7. Số 40 gần 36 hơn 49 nên căn bậc hai của 40 gần với 6 Sau đây là một vài bước để tìm ra câu trả lời chính xác.
Bước 2. Ước lượng căn bậc hai có một chữ số sau dấu phẩy
Khi bạn đã xác định được hai số vuông hoàn hảo trước và sau số bạn cần tìm, việc còn lại là quá trình tìm số đứng sau dấu phẩy gần với đáp án nhất. Bắt đầu với số ước tính có một chữ số sau dấu phẩy. Quá trình này sẽ tiếp tục lặp lại cho đến khi bạn nhận được câu trả lời với độ chính xác như mong muốn.
Trong bài toán ví dụ, giá trị gần đúng hợp lý của căn bậc hai của 40 là 6, 4, bởi vì câu trả lời rất có thể gần với 6 hơn 7.
Bước 3. Nhân số ước tính của bạn với chính số đó
Nói cách khác, bình phương số gần đúng của bạn. Nếu bạn may mắn, kết quả sẽ là con số trong đề. Nếu không, hãy tiếp tục cộng hoặc trừ các số sau dấu phẩy cho đến khi bạn tìm thấy hình vuông gần nhất với số trong bài toán.
- Nhân 6, 4 với 6, 4 để được 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, trên 40 một chút.
- Vì thử nghiệm ban đầu là dư thừa, hãy lấy số gần đúng trừ đi một chữ số thập phân, được 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Kết quả này thấp hơn một chút so với con số trong bài toán. Điều này có nghĩa là căn bậc hai của 40 nằm giữa 6, 3 và 6, 4. Sau đó, vì 39,69 gần hơn với 40, căn bậc hai của 40 cũng gần với 6, 3.
Bước 4. Chuyển tiếp dự báo khi cần thiết
Sử dụng câu trả lời của bạn nếu bạn nghĩ rằng nó đủ chính xác. Nhưng nếu không, chỉ cần tiếp tục mô hình gần đúng ở trên cho đến khi bạn tìm thấy câu trả lời có ba hoặc bốn chữ số sau dấu phẩy - dù sao, cho đến khi bạn đạt đến mức độ chính xác bạn muốn.
