Trong giải tích, khi bạn có một phương trình cho y được viết dưới dạng x (ví dụ: y = x2 -3x), có thể dễ dàng sử dụng các kỹ thuật đạo hàm cơ bản (được các nhà toán học gọi là kỹ thuật đạo hàm hàm ẩn) để tìm đạo hàm. Tuy nhiên, đối với những phương trình khó xây dựng chỉ với số hạng y ở một phía của dấu bằng (ví dụ: x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19), cần có một cách tiếp cận khác. Với một kỹ thuật được gọi là đạo hàm hàm ẩn, thật dễ dàng tìm được đạo hàm của phương trình nhiều biến miễn là bạn biết những điều cơ bản về đạo hàm hàm tường minh!
Bươc chân
Phương pháp 1/2: Lập phương trình đơn giản một cách nhanh chóng
Bước 1. Suy ra các số hạng x như bình thường
Khi cố gắng suy ra một phương trình nhiều biến như x2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19, có thể khó biết bắt đầu từ đâu. May mắn thay, bước đầu tiên của đạo hàm của một hàm ẩn là dễ nhất. Chỉ cần suy ra các số hạng x và các hằng số ở cả hai vế của phương trình theo các quy tắc của đạo hàm thông thường (tường minh) để bắt đầu. Bỏ qua các điều khoản y vào lúc này.
-
Hãy thử lấy một ví dụ của phương trình đơn giản trên. NS2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19 có hai số hạng x: x2 và -5x. Nếu chúng ta muốn suy ra một phương trình, chúng ta phải làm điều này trước tiên, như sau:
-
-
NS2 + y2 - 5x + 8y + 2xy2 = 19
- (Giảm xuống lũy thừa của 2 trong x2 dưới dạng hệ số, loại bỏ x trong -5x và thay đổi 19 thành 0)
- 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
-
-
Bước 2. Suy ra các số hạng y và thêm (dy / dx) vào bên cạnh mỗi số hạng
Đối với bước tiếp theo của bạn, chỉ cần suy ra các số hạng y giống như cách bạn suy ra các số hạng x. Tuy nhiên, lần này, hãy thêm (dy / dx) bên cạnh mỗi thuật ngữ vì bạn sẽ thêm các hệ số. Ví dụ, nếu bạn hạ thấp y2, thì đạo hàm trở thành 2y (dy / dx). Bỏ qua các số hạng có x và y tạm thời.
-
Trong ví dụ của chúng tôi, phương trình của chúng tôi bây giờ trông giống như sau: 2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0. Chúng ta sẽ thực hiện bước tiếp theo của phép tính y như sau:
-
-
2x + y2 - 5 + 8y + 2xy2 = 0
- (Giảm xuống lũy thừa của 2 trong y2 dưới dạng hệ số, loại bỏ y trong 8y và đặt dy / dx bên cạnh mỗi số hạng).
- 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy2= 0
-
-
Bước 3. Sử dụng quy tắc tích hoặc quy tắc thương cho các số hạng có x và y
Làm việc với các thuật ngữ có x và y là một chút khó khăn, nhưng nếu bạn biết các quy tắc cho tích và thương cho các dẫn xuất, bạn sẽ thấy điều đó thật dễ dàng. Nếu các số hạng x và y được nhân lên, hãy sử dụng quy tắc tích số ((f × g) '= f' × g + g × f '), thay số hạng x cho f và số hạng y cho g. Mặt khác, nếu các số hạng x và y loại trừ lẫn nhau, hãy sử dụng quy tắc thương số ((f / g) '= (g × f' - g '× f) / g2), thay tử số cho f và mẫu số cho g.
-
Trong ví dụ của chúng tôi, 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2xy2 = 0, chúng ta chỉ có một số hạng có x và y - 2xy2. Vì x và y là nhân với nhau, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc tích để suy ra như sau:
-
- 2xy2 = (2x) (y2) - đặt 2x = f và y2 = g in (f × g) '= f' × g + g × f '
- (f × g) '= (2x)' × (y2) + (2x) × (y2)'
- (f × g) '= (2) × (y2) + (2x) × (2y (dy / dx))
- (f × g) '= 2 năm2 + 4xy (dy / dx)
-
- Thêm điều này vào phương trình chính của chúng tôi, chúng tôi nhận được 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0
Bước 4. Một mình (dy / dx)
Bạn sắp hoàn thành nó rồi! Bây giờ, tất cả những gì bạn phải làm là giải phương trình (dy / dx). Điều này có vẻ khó, nhưng thường là không - hãy nhớ rằng hai số hạng a và b bất kỳ được nhân với (dy / dx) có thể được viết thành (a + b) (dy / dx) vì thuộc tính phân phối của phép nhân. Chiến thuật này có thể làm cho việc phân lập (dy / dx) dễ dàng hơn - chỉ cần di chuyển tất cả các số hạng khác ở phía bên kia của dấu ngoặc đơn, sau đó chia cho các số hạng trong ngoặc đơn bên cạnh (dy / dx).
-
Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi đơn giản hóa 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0 như sau:
-
- 2x + 2y (dy / dx) - 5 + 8 (dy / dx) + 2y2 + 4xy (dy / dx) = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) + 2x - 5 + 2y2 = 0
- (2y + 8 + 4xy) (dy / dx) = -2y2 - 2x + 5
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2y + 8 + 4xy)
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
-
Phương pháp 2/2: Sử dụng kỹ thuật nâng cao
Bước 1. Nhập giá trị (x, y) cần tìm (dy / dx) cho một điểm bất kỳ
An toàn! Bạn đã hoàn toàn suy ra phương trình của mình - không phải là một công việc dễ dàng trong lần thử đầu tiên! Sử dụng phương trình này để tìm gradient (dy / dx) cho bất kỳ điểm nào (x, y) cũng dễ dàng như cắm các giá trị x và y cho điểm của bạn vào phía bên phải của phương trình, sau đó tìm (dy / dx).
-
Ví dụ, giả sử chúng ta muốn tìm gradient tại điểm (3, -4) cho phương trình ví dụ của chúng ta ở trên. Để làm như vậy, chúng tôi sẽ thay thế 3 cho x và -4 cho y, giải quyết như sau:
-
- (dy / dx) = (-2y2 - 2x + 5) / (2 (2xy + y + 4)
- (dy / dx) = (-2 (-4)2 - 2(3) + 5)/(2(2(3)(-4) + (-4) + 4)
- (dy / dx) = (-2 (16) - 6 + 5) / (2 (2 (3) (- 4))
- (dy / dx) = (-32) - 6 + 5) / (2 (2 (-12))
- (dy / dx) = (-33) / (2 (2 (-12))
- (dy / dx) = (-33) / (- 48) = 3/48, hoặc 0, 6875.
-
Bước 2. Sử dụng quy tắc chuỗi cho các chức năng trong phạm vi chức năng
Quy tắc chuỗi là một phần kiến thức quan trọng cần có khi làm các bài toán giải tích (bao gồm cả các bài toán về đạo hàm hàm ẩn). Quy tắc chuỗi nói rằng đối với một hàm F (x) có thể được viết là (f o g) (x), đạo hàm của F (x) bằng f '(g (x)) g' (x). Đối với các bài toán đạo hàm hàm ẩn khó, điều này có nghĩa là có thể suy ra các phần riêng lẻ khác nhau của phương trình, sau đó kết hợp các kết quả.
-
Như một ví dụ đơn giản, giả sử chúng ta phải tìm đạo hàm của sin (3x2 + x) như một phần của bài toán đạo hàm hàm ẩn lớn hơn cho phương trình sin (3x2 + x) + y3 = 0. Nếu chúng ta tưởng tượng sin (3x2 + x) dưới dạng f (x) và 3x2 + x là g (x), ta có thể tìm đạo hàm như sau:
-
- f '(g (x)) g' (x)
- (sin (3x2 + x)) '× (3x2 + x) '
- cos (3x2 + x) × (6x + 1)
- (6x + 1) cos (3x2 + x)
-
Bước 3. Đối với các phương trình với các biến x, y và z, hãy tìm (dz / dx) và (dz / dy)
Mặc dù không bình thường trong phép tính cơ bản, một số ứng dụng nâng cao có thể yêu cầu tính toán hàm ẩn của nhiều hơn hai biến. Đối với mỗi biến bổ sung, bạn phải tìm đạo hàm bổ sung của nó đối với x. Ví dụ: nếu bạn có x, y và z, bạn nên tìm kiếm cả (dz / dy) và (dz / dx). Chúng ta có thể làm điều này bằng cách suy ra phương trình liên quan đến x hai lần - đầu tiên, chúng ta nhập (dz / dx) mỗi khi chúng ta suy ra một số hạng chứa z và thứ hai, chúng ta sẽ chèn (dz / dy) mỗi khi chúng ta suy ra z. Sau đó, vấn đề chỉ là giải quyết (dz / dx) và (dz / dy).
- Ví dụ, giả sử chúng ta đang cố gắng suy ra x3z2 - 5xy5z = x2 + y3.
-
Đầu tiên, hãy suy ra x và nhập (dz / dx). Đừng quên áp dụng quy tắc sản phẩm nếu cần!
-
- NS3z2 - 5xy5z = x2 + y3
- 3x2z2 + 2x3z (dz / dx) - 5y5z - 5xy5(dz / dx) = 2x
- 3x2z2 + (2x3z - 5xy5) (dz / dx) - 5y5z = 2x
- (2x3z - 5xy5) (dz / dx) = 2x - 3x2z2 + 5 năm5z
- (dz / dx) = (2x - 3x2z2 + 5 năm5z) / (2x3z - 5xy5)
-
-
Bây giờ, làm tương tự cho (dz / dy)
-
- NS3z2 - 5xy5z = x2 + y3
- 2x3z (dz / dy) - 25xy4z - 5xy5(dz / dy) = 3y2
- (2x3z - 5xy5) (dz / dy) = 3y2 + 25xy4z
- (dz / dy) = (3y2 + 25xy4z) / (2x3z - 5xy5)
-
