Trong những ngày trước khi máy tính được phát minh, sinh viên và giáo sư phải tính các căn bậc hai theo cách thủ công. Một số cách khác nhau đã được phát triển để vượt qua quá trình khó khăn này. Một số cách đưa ra ước tính sơ bộ và những cách khác đưa ra giá trị chính xác. Để biết cách tìm căn bậc hai của một số chỉ bằng các thao tác đơn giản, hãy xem Bước 1 bên dưới để bắt đầu.
Bươc chân
Phương pháp 1/2: Sử dụng thừa số nguyên tố
Bước 1. Chia số của bạn thành các thừa số bình phương hoàn hảo
Phương pháp này sử dụng các thừa số của một số để tìm căn bậc hai của số đó (tùy thuộc vào số, câu trả lời có thể là một số chính xác hoặc một số gần đúng). Các thừa số của một số là một tập hợp các số khác, khi nhân lên sẽ tạo ra số đó. Ví dụ, bạn có thể nói rằng thừa số của 8 là 2 và 4 vì 2 × 4 = 8. Trong khi đó, các hình vuông hoàn hảo là các số nguyên là tích của các số nguyên khác. Ví dụ: 25, 36 và 49 là các hình vuông hoàn hảo vì chúng tương ứng là 52, 62, và 72. Như bạn có thể đoán, các yếu tố hình vuông hoàn hảo là các yếu tố cũng là hình vuông hoàn hảo. Để bắt đầu tìm căn bậc hai thông qua thừa số nguyên tố, trước tiên hãy cố gắng đơn giản hóa số của bạn thành các thừa số bình phương hoàn hảo của nó.
- Hãy sử dụng một ví dụ. Chúng tôi muốn tìm căn bậc hai của 400 theo cách thủ công. Để bắt đầu, chúng ta sẽ chia số thành các thừa số bình phương hoàn hảo của nó. Vì 400 là bội số của 100 nên chúng ta biết rằng 400 chia hết cho 25 - một hình vuông hoàn hảo. Với phép chia nhanh các bóng, chúng ta thấy rằng 400 chia cho 25 bằng 16. Thật trùng hợp, 16 cũng là một hình vuông hoàn hảo. Do đó, các hệ số bình phương hoàn hảo của 400 là 25 và 16 vì 25 × 16 = 400.
- Chúng ta có thể viết nó là: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Bước 2. Tìm căn bậc hai của các thừa số bình phương hoàn hảo của bạn
Thuộc tính nhân của căn bậc hai cho biết rằng với bất kỳ số a và b nào, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Do tính chất này, bây giờ, chúng ta có thể tìm căn bậc hai của các thừa số bình phương hoàn hảo của chúng ta và nhân chúng để có câu trả lời.
-
Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi sẽ tìm các căn bậc hai của 25 và 16. Xem bên dưới:
- Gốc (25 × 16)
- Gốc (25) × Gốc (16)
-
5 × 4 =
Bước 20.
Bước 3. Nếu số của bạn không thể được tính toán một cách hoàn hảo, hãy đơn giản hóa câu trả lời của bạn thành dạng đơn giản nhất
Trong cuộc sống thực, thường những con số bạn cần tìm căn bậc hai của những số nguyên không dễ chịu với các thừa số bình phương hoàn hảo rõ ràng như 400. Trong những trường hợp này, có thể chúng ta không thể tìm ra câu trả lời đúng như một số nguyên. Tuy nhiên, bằng cách tìm càng nhiều thừa số bình phương hoàn hảo, bạn có thể tìm được câu trả lời dưới dạng căn bậc hai nhỏ hơn, đơn giản hơn và dễ tính hơn. Để làm điều này, hãy giảm số của bạn thành sự kết hợp của các yếu tố bình phương hoàn hảo và các yếu tố bình phương không hoàn hảo, sau đó đơn giản hóa.
-
Hãy sử dụng căn bậc hai của 147 làm ví dụ. 147 không phải là tích của hai hình vuông hoàn hảo, vì vậy chúng ta không thể lấy giá trị nguyên chính xác như trên. Tuy nhiên, 147 là tích của một hình vuông hoàn hảo và một số khác - 49 và 3. Chúng ta có thể sử dụng thông tin này để viết câu trả lời của mình ở dạng đơn giản nhất như sau:
- Gốc (147)
- = Gốc (49 × 3)
- = Sqrt (49) × Sqrt (3)
- = 7 × Gốc (3)
Bước 4. Nếu cần, hãy ước lượng
Với căn bậc hai của bạn ở dạng đơn giản nhất, thường khá dễ dàng để có được ước tính sơ bộ về câu trả lời bằng cách đoán giá trị của căn bậc hai còn lại và nhân với nó. Một cách để hướng dẫn bạn đoán là tìm những hình vuông hoàn hảo lớn hơn và nhỏ hơn số trong căn bậc hai của bạn. Bạn sẽ nhận thấy rằng giá trị thập phân của số trong căn bậc hai của bạn nằm giữa hai số, vì vậy bạn có thể đoán giá trị giữa hai số.
-
Hãy quay lại ví dụ của chúng ta. bởi vì 22 = 4 và 12 = 1, chúng ta biết rằng Gốc (3) nằm giữa 1 và 2 - có lẽ gần 2 hơn 1. Chúng ta ước tính 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Nếu chúng ta kiểm tra câu trả lời của mình trên máy tính, chúng ta có thể thấy rằng câu trả lời của chúng tôi khá gần với câu trả lời thực là 12, 13.
Điều này cũng áp dụng cho số lượng lớn hơn. Ví dụ, Gốc (35) có thể được xấp xỉ trong khoảng từ 5 đến 6 (có thể gần hơn với 6). 52 = 25 và 62 = 36. 35 nằm trong khoảng từ 25 đến 36, do đó căn bậc hai phải từ 5 đến 6. Vì 35 chỉ nhỏ hơn 36 nên chúng ta có thể tự tin nói rằng căn bậc hai nhỏ hơn 6. Kiểm tra bằng máy tính sẽ cho chúng tôi câu trả lời là khoảng 5, 92 - chúng tôi đúng.
Bước 5. Ngoài ra, hãy giảm số lượng của bạn xuống các yếu tố ít phổ biến nhất như là bước đầu tiên của bạn
Việc tìm thừa số của các bình phương hoàn hảo là không cần thiết nếu bạn có thể dễ dàng xác định các thừa số nguyên tố của một số (các thừa số cũng là số nguyên tố). Viết số của bạn theo các thừa số ít phổ biến nhất của nó. Sau đó, tìm các cặp số nguyên tố phù hợp với hệ số của bạn. Khi bạn tìm thấy hai thừa số nguyên tố giống nhau, loại bỏ hai số này khỏi căn bậc hai và đặt một trong những số này bên ngoài căn bậc hai.
-
Ví dụ, tìm căn bậc hai của 45 bằng phương pháp này. Chúng ta biết rằng 45 × 5 và chúng ta biết rằng dưới 9 = 3 × 3. Do đó, chúng ta có thể viết căn bậc hai của chúng ta dưới dạng các thừa số như sau: Sqrt (3 × 3 × 5). Chỉ cần loại bỏ cả hai số 3 và đặt một số 3 bên ngoài căn bậc hai để đơn giản hóa căn bậc hai của bạn về dạng đơn giản nhất: (3) Gốc (5).
Từ đây, chúng ta sẽ dễ dàng ước tính.
-
Như một bài toán ví dụ cuối cùng, chúng ta hãy thử tìm căn bậc hai của 88:
- Gốc (88)
- = Gốc (2 × 44)
- = Gốc (2 × 4 × 11)
- = Gốc (2 × 2 × 2 × 11). Chúng tôi có một số 2 trong căn bậc hai của chúng tôi. Vì 2 là một số nguyên tố, chúng ta có thể loại bỏ một cặp số 2 và đặt một trong số chúng ở bên ngoài căn bậc hai.
-
= Căn bậc hai của chúng ta ở dạng đơn giản nhất là (2) Sqrt (2 × 11) hoặc (2) Gốc (2) Gốc (11).
Từ đây, chúng ta có thể ước lượng Sqrt (2) và Sqrt (11) và tìm ra câu trả lời gần đúng như chúng ta muốn.
Phương pháp 2/2: Tìm Căn bậc hai theo cách thủ công
Sử dụng thuật toán chia dài
Bước 1. Tách các chữ số trong số của bạn thành từng cặp
Phương pháp này sử dụng một quy trình tương tự như phép chia dài để tìm chính xác căn bậc hai cho từng chữ số. Mặc dù nó không bắt buộc, nhưng bạn có thể thấy dễ dàng hơn để thực hiện quy trình này nếu bạn tổ chức trực quan nơi làm việc và các con số của mình thành các bộ phận dễ làm việc. Đầu tiên, vẽ một đường thẳng đứng chia khu vực làm việc của bạn thành hai phần, sau đó vẽ một đường ngang ngắn hơn gần phía trên bên phải để chia phần bên phải thành phần trên cùng nhỏ hơn và phần dưới cùng lớn hơn. Tiếp theo, tách các chữ số của bạn thành từng cặp, bắt đầu từ dấu thập phân. Ví dụ: theo quy tắc này, 79,520,789,182, 47897 trở thành "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Viết số của bạn ở trên cùng bên trái.
Ví dụ, chúng ta hãy thử tính căn bậc hai của 780, 14. Vẽ hai đường thẳng để chia nơi làm việc của bạn như trên và viết "7 80. 14" ở phía trên bên trái. Không quan trọng nếu số ngoài cùng bên trái là một số duy nhất và không phải là một cặp số. Bạn sẽ viết câu trả lời của mình (căn bậc hai 780, 14) ở trên cùng bên phải
Bước 2. Tìm số nguyên lớn nhất có giá trị bình phương nhỏ hơn hoặc bằng số (hoặc cặp số) ở ngoài cùng bên trái
Bắt đầu ở ngoài cùng bên trái số của bạn, cả cặp số và số đơn. Tìm hình vuông hoàn hảo lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng số này, sau đó tìm căn bậc hai của hình vuông hoàn hảo này. Số này là n. Viết n ở phía trên bên phải và viết bình phương của n ở góc phần tư phía dưới bên phải.
Trong ví dụ của chúng tôi, ngoài cùng bên trái là số 7. Bởi vì chúng tôi biết rằng 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, ta có thể nói n = 2 vì 2 là số nguyên lớn nhất có giá trị bình phương nhỏ hơn hoặc bằng 7. Viết 2 vào góc phần tư bên phải phía trên. Đây là chữ số đầu tiên trong câu trả lời của chúng tôi. Viết 4 (giá trị bình phương của 2) vào góc phần tư phía dưới bên phải. Con số này rất quan trọng cho bước tiếp theo.
Bước 3. Lấy cặp số ngoài cùng bên trái trừ số vừa tính được
Cũng như phép chia dài, bước tiếp theo là lấy phần vừa phân tích trừ đi giá trị của bình phương chúng ta vừa tìm được. Viết số này dưới phần đầu tiên và trừ đi, viết câu trả lời của bạn bên dưới nó.
-
Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi sẽ viết 4 dưới 7, sau đó trừ đi. Phép trừ này tạo ra một câu trả lời
Bước 3..
Bước 4. Thả cặp tiếp theo
Di chuyển xuống phần tiếp theo của số mà bạn đang tìm căn bậc hai, bên cạnh giá trị trừ bạn vừa tìm thấy. Tiếp theo, nhân số ở góc phần tư phía trên bên phải với hai và viết câu trả lời ở góc phần tư bên phải phía dưới. Bên cạnh số bạn vừa viết ra, hãy để một khoảng trống cho bài toán nhân mà bạn sẽ làm trong bước tiếp theo bằng cách viết '"_ × _ ="'.
Trong ví dụ của chúng tôi, cặp số tiếp theo của chúng tôi là "80". Viết "80" bên cạnh số 3 ở góc phần tư bên trái. Tiếp theo, nhân số ở trên cùng bên phải với hai. Số này là 2, do đó 2 × 2 = 4. Viết "'4"' ở góc phần tư phía dưới bên phải, theo sau là _×_=.
Bước 5. Điền vào ô trống trong góc phần tư bên phải
Bạn phải điền vào tất cả các ô trống bạn vừa viết trong góc phần tư bên phải với cùng một số nguyên. Số nguyên này phải là số nguyên lớn nhất làm cho tích ở góc phần tư bên phải nhỏ hơn hoặc bằng số hiện ở bên trái.
Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi điền vào ô trống với 8, kết quả là 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Giá trị này lớn hơn 384. Vì vậy, 8 là quá lớn, nhưng 7 có thể hoạt động. Viết 7 vào ô trống và giải: 4 (7) × 7 = 329. 7 là một số đúng vì 329 nhỏ hơn 380. Viết 7 vào góc phần tư bên phải phía trên. Đây là chữ số thứ hai trong căn bậc hai của 780, 14
Bước 6. Trừ số bạn vừa tính được với số bây giờ ở bên trái
Tiếp tục với chuỗi trừ bằng cách sử dụng phương pháp chia dài. Lấy tích của bài toán ở góc phần tư bên phải và trừ nó cho số hiện ở bên trái, đồng thời viết câu trả lời của bạn bên dưới.
Trong ví dụ của chúng tôi, chúng tôi sẽ trừ 329 từ 380, cho kết quả 51.
Bước 7. Lặp lại bước 4
Suy ra phần tiếp theo của số mà bạn đang tìm căn bậc hai. Khi bạn đạt đến dấu thập phân trong số của mình, hãy viết dấu thập phân trong câu trả lời của bạn ở góc phần tư phía trên bên phải. Sau đó, nhân số ở trên cùng bên phải với 2 và viết nó bên cạnh bài toán nhân trống ("_ × _") như trên.
Trong ví dụ của chúng tôi, vì chúng tôi hiện đang xử lý dấu thập phân ở 780, 14, hãy viết dấu thập phân sau câu trả lời hiện tại của chúng tôi ở phía trên bên phải. Tiếp theo, hạ thấp cặp tiếp theo (14) ở góc phần tư bên trái. Hai lần số ở phía trên bên phải (27) bằng 54, vì vậy hãy viết "54 _ × _ =" ở góc phần tư phía dưới bên phải
Bước 8. Lặp lại bước 5 và 6
Tìm chữ số lớn nhất để điền vào ô trống bên phải, cho kết quả nhỏ hơn hoặc bằng số hiện ở bên trái. Sau đó, giải quyết vấn đề.
Trong ví dụ của chúng ta, 549 × 9 = 4941, nhỏ hơn hoặc bằng số bên trái (5114). 549 × 10 = 5490 là quá lớn, vì vậy 9 là câu trả lời của bạn. Viết 9 là chữ số tiếp theo ở góc phần tư phía trên bên phải và trừ tích cho số bên trái: 5114 trừ 4941 bằng 173
Bước 9. Để tiếp tục đếm các chữ số, hãy hạ thấp cặp số không ở bên trái và lặp lại các bước 4, 5 và 6
Để có độ chính xác cao hơn, hãy tiếp tục quá trình này để tìm hàng trăm, hàng nghìn và nhiều vị trí khác trong câu trả lời của bạn. Tiếp tục sử dụng chu kỳ này cho đến khi bạn tìm thấy vị trí thập phân mà bạn muốn.
Hiểu quy trình
Bước 1. Hãy tưởng tượng con số bạn tính được căn bậc hai là diện tích S của một hình vuông
Vì diện tích của một hình vuông là P2 trong đó P là độ dài của một trong các cạnh, sau đó bằng cách cố gắng tìm căn bậc hai của số của bạn, bạn thực sự đang cố gắng tính độ dài P của cạnh đó hình vuông.
Bước 2. Xác định các biến chữ cái cho mỗi chữ số trong câu trả lời của bạn
Đặt biến A là chữ số đầu tiên của P (căn bậc hai mà chúng ta đang cố gắng tính toán). B sẽ là chữ số thứ hai, C là chữ số thứ ba, v.v.
Bước 3. Xác định các biến chữ cái cho mỗi phần của số bắt đầu của bạn
Đặt biến SMột cho cặp chữ số đầu tiên trong S (giá trị ban đầu của bạn), SNS cho cặp chữ số thứ hai, v.v.
Bước 4. Hiểu mối quan hệ giữa phương pháp này và phép chia dài
Phương pháp tìm căn bậc hai này về cơ bản là một bài toán chia dài chia số ban đầu của bạn cho căn bậc hai, cho bạn căn bậc hai của câu trả lời. Cũng giống như trong bài toán chia dài, bạn chỉ quan tâm đến chữ số tiếp theo trong mỗi bước. Bằng cách này, bạn chỉ quan tâm đến hai chữ số tiếp theo trong mỗi bước (là chữ số tiếp theo trong mỗi bước cho căn bậc hai).
Bước 5. Tìm số lớn nhất có giá trị bình phương nhỏ hơn hoặc bằng SMột.
Chữ số đầu tiên của A trong câu trả lời của chúng tôi là số nguyên lớn nhất có giá trị bình phương không vượt quá SMột (tức là A sao cho A² Sa <(A + 1) ²). Trong ví dụ của chúng tôi, SMột = 7 và 2² 7 <3², do đó A = 2.
Lưu ý rằng, ví dụ: nếu bạn muốn chia 88962 cho 7 bằng phép chia dài, thì các bước đầu tiên khá giống nhau: bạn sẽ thấy chữ số đầu tiên của 88962 (là 8) và bạn đang tìm chữ số lớn nhất mà khi nhân với 7, nhỏ hơn hoặc bằng 8 Về cơ bản, bạn đang tìm d sao cho 7 × d 8 <7 × (d + 1). Trong trường hợp này, d sẽ bằng 1
Bước 6. Hãy tưởng tượng giá trị của hình vuông có diện tích mà bạn sắp bắt đầu làm việc
Câu trả lời của bạn, căn bậc hai của số bắt đầu, là P, mô tả độ dài của hình vuông với diện tích S (số bắt đầu của bạn). Điểm của bạn cho A, B, C, đại diện cho các chữ số trong giá trị của P. Một cách khác để nói điều này là 10A + B = P (cho câu trả lời có hai chữ số), 100A + 10B + C = P (cho một ba- câu trả lời chữ số), v.v.
Trong ví dụ của chúng tôi, (10A + B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Hãy nhớ rằng 10A + B đại diện cho câu trả lời của chúng ta, P, với B ở vị trí hàng đơn vị và A ở vị trí hàng chục. Ví dụ, với A = 1 và B = 2, thì 10A + B bằng 12. (10A + B) ² là tổng diện tích của hình vuông, trong khi 100A² là diện tích của hình vuông lớn nhất trong đó, B² là diện tích của hình vuông nhỏ nhất trong đó, và 10A × B là diện tích của hai hình chữ nhật còn lại. Bằng cách thực hiện quá trình dài và phức tạp này, chúng tôi tìm thấy tổng diện tích của một hình vuông bằng cách cộng các diện tích của các hình vuông và hình chữ nhật bên trong.
Bước 7. Trừ A² khỏi SMột.
Giảm một cặp chữ số (SNS) của S. Giá trị của SMột NSNS gần với tổng diện tích của hình vuông mà bạn vừa dùng để trừ hình vuông bên trong lớn hơn. Phần còn lại có thể được coi là số N1, mà chúng ta đã nhận được ở bước 4 (N1 = 380 trong ví dụ của chúng ta). N1 bằng 2 & lần: 10A × B + B² (diện tích hai hình chữ nhật cộng với diện tích hình vuông nhỏ hơn).
Bước 8. Tìm N1 = 2 × 10A × B + B², còn được viết là N1 = (2 × 10A + B) × B
Trong ví dụ của chúng tôi, bạn đã biết N1 (380) và A (2), vì vậy bạn phải tìm B. B rất có thể không phải là một số nguyên, vì vậy bạn thực sự cần tìm số nguyên B lớn nhất sao cho (2 × 10A + B) × B N1. Vì vậy, bạn có: N1 <(2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
Bước 9. Kết thúc
Để giải phương trình này, nhân A với 2, chuyển kết quả sang vị trí hàng chục (tương đương với nhân với 10), đặt B ở vị trí hàng đơn vị và nhân số với B. Nói cách khác, giải (2 × 10A + B) × B. Đây chính xác là những gì bạn làm khi viết "N_ × _ =" (với N = 2 × A) ở góc phần tư phía dưới bên phải trong bước 4. Trong bước 5, bạn tìm số nguyên B lớn nhất tương ứng với số bên dưới nó sao cho (2 × 10A + B) × B N1.
Bước 10. Trừ diện tích (2 × 10A + B) × B khỏi tổng diện tích
Phép trừ này dẫn đến diện tích S- (10A + B) ² chưa được tính (và sẽ được dùng để tính chữ số tiếp theo theo cách tương tự).
Bước 11. Để tính chữ số tiếp theo, C, hãy lặp lại quy trình
Hạ cặp tiếp theo (SNS) của S để lấy N2 ở bên trái, và tìm C lớn nhất để bạn có (2 × 10 × (10A + B) + C) × C N2 (tương đương với việc viết hai lần số có hai chữ số "AB" tiếp theo là "_ × _ =". Tìm chữ số phù hợp lớn nhất trong các ô trống, chữ số này cho câu trả lời nhỏ hơn hoặc bằng N2, như trước đó.
Lời khuyên
- Di chuyển dấu thập phân bằng bội số của hai chữ số trong một số (bội số của 100), có nghĩa là di chuyển dấu thập phân với bội số của một chữ số trong căn bậc hai của nó (bội số của 10).
- Trong ví dụ này, 1,73 có thể được coi là "phần dư": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Phương pháp này có thể được sử dụng cho bất kỳ cơ số nào, không chỉ cơ số 10 (thập phân).
- Bạn có thể sử dụng phép tính sẽ thuận tiện hơn cho bạn. Một số người viết kết quả trên con số ban đầu.
- Một cách khác để sử dụng phân số lặp lại là làm theo công thức sau: z = (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x +…))). Ví dụ: để tính căn bậc hai của 780, 14, số nguyên có giá trị bình phương gần nhất với 780, 14 là 28, vì vậy z = 780, 14, x = 28 và y = -3, 86. Nhập giá trị và chỉ tính toán các ước lượng cho x + y / (2x) nó mang lại (theo các thuật ngữ đơn giản nhất) 78207/20800 hoặc khoảng 27, 931 (1); kỳ tới, 4374188/156607 hoặc khoảng 27, 930986 (5). Mỗi số hạng cộng thêm khoảng 3 chữ số thập phân vào độ chính xác của số chữ số thập phân trước đó.
