Cách vẽ đồ thị hình vuông: 10 bước (có hình ảnh)

2024 Tác giả: Jason Gerald | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-02-01 14:16

Khi được biểu diễn bằng đồ thị, phương trình bậc hai có dạng cây rìu² + bx + c hoặc a (x - h)² + k tạo thành chữ U hoặc một đường cong chữ U ngược được gọi là một parabol. Vẽ đồ thị của một phương trình bậc hai là tìm đỉnh, hướng và thường là giao điểm x và y. Trong trường hợp phương trình bậc hai khá đơn giản, nhập một tập hợp các giá trị x và vẽ đường cong dựa trên các điểm kết quả có thể là đủ. Xem Bước 1 bên dưới để bắt đầu.

Bươc chân

Bước 1. Xác định dạng của phương trình bậc hai mà bạn có

Phương trình bậc hai có thể được viết dưới ba dạng khác nhau: dạng tổng quát, dạng đỉnh và dạng bậc hai. Bạn có thể sử dụng bất kỳ hình thức nào để vẽ đồ thị một phương trình bậc hai; quá trình mô tả mỗi đồ thị hơi khác nhau. Nếu bạn đang làm bài tập về nhà, bạn sẽ thường nhận được câu hỏi ở một trong hai dạng này - nói cách khác, bạn sẽ không thể chọn, vì vậy tốt nhất bạn nên hiểu cả hai. Hai dạng của phương trình bậc hai là:

• Hình thức chung.

  Ở dạng này, phương trình bậc hai được viết dưới dạng: f (x) = ax² + bx + c trong đó a, b và c là các số thực và a không phải là số không.

  Ví dụ, hai phương trình bậc hai có dạng tổng quát là f (x) = x² + 2x + 1 và f (x) = 9x² + 10x -8.

• Hình dạng đỉnh.

  Ở dạng này, phương trình bậc hai được viết dưới dạng: f (x) = a (x - h)² + k trong đó a, h, k là các số thực và a không phải là số 0. Nó được gọi là dạng đỉnh vì h và k sẽ ngay lập tức cho đỉnh (trung điểm) của parabol của bạn tại điểm (h, k).

  Phương trình dạng hai đỉnh là f (x) = 9 (x - 4)² + 18 và -3 (x - 5)² + 1

• Để vẽ đồ thị của bất kỳ loại phương trình nào, trước tiên chúng ta phải tìm đỉnh của parabol, đó là trung điểm (h, k) ở cuối đường cong. Tọa độ của các đỉnh ở dạng tổng quát được tính là: h = -b / 2a và k = f (h), trong khi ở dạng đỉnh, h và k nằm trong phương trình.

Bước 2. Xác định các biến của bạn

Để giải một bài toán bậc hai, các biến a, b và c (hoặc a, h và k) thường phải được xác định. Một bài toán đại số thông thường sẽ cho một phương trình bậc hai với các biến có sẵn, thường ở dạng tổng quát, nhưng đôi khi ở dạng đỉnh.

• Ví dụ, đối với một phương trình dạng tổng quát f (x) = 2x² + 16x + 39, ta có a = 2, b = 16 và c = 39.
• Đối với phương trình dạng đỉnh f (x) = 4 (x - 5)² + 12, ta có a = 4, h = 5, và k = 12.

Bước 3. Tính h

Trong phương trình dạng đỉnh, giá trị h của bạn đã được cho trước, nhưng trong phương trình dạng tổng quát, giá trị h phải được tính. Hãy nhớ rằng, đối với phương trình dạng tổng quát, h = -b / 2a.

• Trong ví dụ dạng tổng quát của chúng tôi (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Sau khi giải quyết, ta thấy rằng h = - 4.
• Trong ví dụ dạng đỉnh của chúng ta (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), chúng ta biết rằng h = 5 mà không cần làm bất kỳ phép toán nào.

Bước 4. Tính k

Giống như h, k đã được biết trong phương trình của dạng đỉnh. Đối với phương trình dạng tổng quát, hãy nhớ rằng k = f (h). Nói cách khác, bạn có thể tìm k bằng cách thay thế tất cả các giá trị x trong phương trình bằng các giá trị h mà bạn vừa tìm được.

• Chúng tôi đã xác định trong ví dụ dạng chung của chúng tôi rằng h = -4. Để tìm k, chúng ta giải phương trình bằng cách điền giá trị của h vào chỗ x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Bước 7.

• Trong ví dụ về dạng đỉnh của chúng ta, một lần nữa, chúng ta biết giá trị của k (là 12) mà không cần phải làm bất kỳ phép toán nào.

Bước 5. Vẽ đỉnh của bạn

Đỉnh của parabol của bạn là điểm (h, k) - h đại diện cho tọa độ x, trong khi k đại diện cho tọa độ y. Đỉnh là trung điểm của parabol của bạn - ở dưới cùng của chữ U hoặc ở trên cùng của chữ U ngược. Biết các đỉnh là một phần quan trọng để vẽ một parabol chính xác - thông thường, trong bài học ở trường, xác định đỉnh là phần cần tìm trong một câu hỏi.

• Trong ví dụ mẫu chung của chúng tôi, đỉnh của chúng tôi là (-4, 7). Như vậy, parabol của chúng ta sẽ có đỉnh là 4 bước bên trái từ 0 và 7 bước ở trên (0, 0). Chúng tôi phải mô tả điểm này trong biểu đồ của chúng tôi, đảm bảo đánh dấu các tọa độ.
• Trong ví dụ dạng đỉnh của chúng ta, đỉnh của chúng ta là (5, 12). Chúng ta phải vẽ một điểm cách 5 bước bên phải và 12 bước phía trên (0, 0).

Bước 6. Vẽ trục của parabol (tùy chọn)

Trục đối xứng của một parabol là một đường thẳng đi qua tâm của nó, chia nó chính xác ở giữa. Trên trục này, bên trái của parabol sẽ phản chiếu bên phải. Đối với phương trình bậc hai ở dạng ax² + bx + c hoặc a (x - h)² + k, trục đối xứng là đường thẳng song song với trục y (hay nói cách khác là thẳng đứng) và đi qua đỉnh.

Trong trường hợp ví dụ dạng tổng quát của chúng ta, trục là đường thẳng song song với trục y và đi qua điểm (-4, 7). Mặc dù nó không phải là một phần của parabol, việc đánh dấu đường thẳng này trên biểu đồ của bạn một cách mỏng dần sẽ giúp bạn thấy hình dạng đối xứng của đường cong của parabol

Bước 7. Tìm hướng mở của parabol

Sau khi biết đỉnh và trục của parabol, tiếp theo chúng ta cần biết parabol đó mở lên hay xuống. May mắn thay, điều này là dễ dàng. Nếu giá trị của a là dương, thì parabol sẽ mở ra phía trên, trong khi nếu giá trị của a là âm, thì parabol sẽ mở xuống dưới (tức là parabol sẽ bị đảo ngược).

• Đối với ví dụ dạng tổng quát của chúng tôi (f (x) = 2x² + 16x + 39), chúng ta biết rằng chúng ta có một parabol mở ra vì trong phương trình của chúng ta, a = 2 (dương).
• Đối với ví dụ dạng đỉnh của chúng ta (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), chúng ta biết rằng chúng ta cũng có một parabol mở ra vì a = 4 (dương).

Bước 8. Nếu cần, hãy tìm và vẽ giao tuyến x

Thông thường, trong bài tập ở trường, bạn sẽ được yêu cầu tìm giao điểm x trong parabol (là một hoặc hai điểm tại đó parabol gặp trục x). Ngay cả khi bạn không tìm thấy một điểm nào, hai điểm này rất quan trọng để vẽ một hình parabol chính xác. Tuy nhiên, không phải tất cả các parabol đều có giao tuyến x. Nếu parabol của bạn có đỉnh mở ra và đỉnh của nó ở trên trục x hoặc nếu nó mở xuống dưới và đỉnh của nó nằm dưới trục x, parabol sẽ không có điểm chặn x. Nếu không, hãy giải mã chặn x của bạn theo một trong các cách sau:

• Chỉ cần làm cho f (x) = 0 và giải phương trình. Phương pháp này có thể được sử dụng cho các phương trình bậc hai đơn giản, đặc biệt là ở dạng đỉnh, nhưng sẽ rất khó đối với các phương trình phức tạp. xem ví dụ bên dưới

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Gốc (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 và 13 là giao điểm x trong parabol.

• Tính phương trình của bạn. Một số phương trình ở dạng ax² + bx + c có thể dễ dàng được tích thành nhân tử ở dạng (dx + e) (fx + g), trong đó dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx và e × g = c. Trong trường hợp này, số chặn x của bạn là giá trị x sẽ làm cho bất kỳ số hạng nào trong dấu ngoặc đơn = 0. Ví dụ:

  • NS² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Trong trường hợp này, hệ số chặn x duy nhất của bạn là -1 vì làm cho x bằng -1 sẽ làm cho bất kỳ số hạng thừa nào trong dấu ngoặc bằng 0.

• Sử dụng công thức bậc hai. Nếu bạn không thể dễ dàng giải phương trình chặn x hoặc nhân tử của mình, hãy sử dụng một phương trình đặc biệt được gọi là công thức bậc hai được tạo ra cho mục đích này. Nếu nó vẫn chưa được giải quyết, hãy chuyển phương trình của bạn thành dạng ax² + bx + c, sau đó nhập a, b và c vào công thức x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac)) / 2a. Lưu ý rằng phương pháp này thường cung cấp cho bạn hai câu trả lời cho giá trị của x, điều này là OK - nó chỉ có nghĩa là parabol của bạn có hai giao điểm x. Xem ví dụ bên dưới:

  • -5x² + 1x + 10 được đưa vào công thức bậc hai như sau:
  • x = (-1 +/- Gốc (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Gốc (1 + 200)) / - 10
  • x = (-1 +/- Gốc (201)) / - 10
  • x = (-1 +/- 14, 18) / - 10
  • x = (13, 18 / -10) và (-15, 18 / -10). Giao điểm x trong parabol là x = - 1, 318 và 1, 518
  • Ví dụ trước đây của chúng tôi về dạng tổng quát, 2x² + 16x + 39 được đưa vào công thức bậc hai như sau:
  • x = (-16 +/- Gốc (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Gốc (256 - 312)) / 4
  • x = (-16 +/- Gốc (-56) / - 10
  • Vì không thể tìm được căn bậc hai của một số âm, chúng ta biết rằng parabol này không có đánh chặn x.

Bước 9. Nếu cần, hãy tìm và vẽ giao tuyến y

Mặc dù thường không cần thiết phải tìm giao điểm y trong phương trình (điểm mà parabol đi qua trục y), nhưng cuối cùng bạn có thể phải tìm nó, đặc biệt nếu bạn đang đi học. Quá trình này khá đơn giản - chỉ cần tạo x = 0, sau đó giải phương trình của bạn cho f (x) hoặc y, cung cấp giá trị của y tại đó parabol của bạn đi qua trục y. Không giống như giao tuyến x, một parabol thông thường chỉ có thể có một giao tuyến y. Lưu ý - đối với phương trình dạng tổng quát, giao điểm y là y = c.

• Ví dụ, chúng ta biết rằng phương trình bậc hai của chúng ta là 2x² + 16x + 39 có một giao điểm y tại y = 39, nhưng nó cũng có thể được tìm thấy theo cách sau:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Giao điểm y của parabol là tại y = 39.

    Như đã nói ở trên, giao điểm y là y = c.

• Dạng của phương trình đỉnh của chúng ta là 4 (x - 5)² + 12 có một giao điểm y có thể được tìm thấy theo cách sau:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Giao điểm y của parabol là tại y = 112.

Bước 10. Nếu cần, hãy vẽ các điểm bổ sung, sau đó vẽ biểu đồ

Bây giờ bạn có đỉnh, hướng, giao điểm x và có thể là giao điểm y trong phương trình của bạn. Ở giai đoạn này, bạn có thể cố gắng vẽ parabol bằng cách sử dụng các điểm bạn có làm hướng dẫn hoặc tìm các điểm khác để điền vào parabol của bạn để đường cong bạn vẽ chính xác hơn. Cách dễ nhất để làm điều này là chỉ cần nhập một số giá trị x vào bất kỳ cạnh nào của đỉnh của bạn, sau đó vẽ đồ thị các điểm này bằng cách sử dụng các giá trị y mà bạn nhận được. Thông thường, giáo viên yêu cầu bạn tìm một vài điểm trước khi vẽ hình parabol.

• Hãy xem lại phương trình x² + 2x + 1. Ta đã biết rằng hoành độ của x chỉ tại x = -1. Vì đường cong chỉ tiếp xúc với giao điểm x tại một điểm, chúng ta có thể kết luận rằng đỉnh là giao điểm x của nó, có nghĩa là đỉnh là (-1, 0). Thực tế chúng ta chỉ có một điểm cho parabol này - không đủ để vẽ một parabol tốt. Chúng ta hãy tìm kiếm một số điểm khác để đảm bảo rằng chúng ta vẽ một biểu đồ kỹ lưỡng.

  • Hãy tìm giá trị y của các giá trị x sau: 0, 1, -2 và -3.
  • Đối với 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Điểm của chúng ta là (0, 1).

  • Đối với 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Điểm của chúng ta là (1, 4).

  • Cho -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Điểm của chúng ta là (-2, 1).

  • Cho -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Điểm của chúng ta là (-3, 4).

  • Vẽ những điểm này trên biểu đồ và vẽ đường cong hình chữ U của bạn. Lưu ý rằng parabol hoàn toàn đối xứng - khi các điểm của bạn ở một bên của parabol là số nguyên, bạn thường có thể giảm bớt công việc phản ánh một điểm đã cho trên trục đối xứng của parabol để tìm điểm giống nhau ở phía bên kia của parabol..

Lời khuyên

• Làm tròn số hoặc sử dụng phân số theo yêu cầu của giáo viên đại số của bạn. Điều này sẽ giúp bạn vẽ đồ thị tốt hơn của phương trình bậc hai.
• Lưu ý rằng trong f (x) = ax² + bx + c, nếu b hoặc c bằng 0, các số này sẽ biến mất. Ví dụ: 12x² + 0x + 6 trở thành 12x² + 6 vì 0x là 0.