Định thức của ma trận thường được sử dụng trong giải tích, đại số tuyến tính và hình học ở cấp độ cao hơn. Bên ngoài học viện, các kỹ sư đồ họa máy tính và lập trình viên luôn sử dụng ma trận và các yếu tố quyết định của chúng. Nếu bạn đã biết cách xác định định thức của ma trận bậc 2x2, bạn chỉ cần học khi nào sử dụng phép cộng, phép trừ và nhân lần để xác định định thức của ma trận bậc 3x3.
Bươc chân
Phần 1/2: Xác định các yếu tố quyết định
Viết ma trận thứ tự 3 x 3 của bạn. Chúng ta sẽ bắt đầu với ma trận A bậc 3x3 và cố gắng tìm định thức | A |. Dưới đây là dạng tổng quát của ký hiệu ma trận mà chúng tôi sẽ sử dụng và một ví dụ về ma trận của chúng tôi:
| Một11 | Một12 | Một13 | 1 | 5 | 3 | |||
| NS | = | Một21 | Một22 | Một23 | = | 2 | 4 | 7 |
| Một31 | Một32 | Một33 | 4 | 6 | 2 |
Bước 1. Chọn một hàng hoặc cột
Đặt lựa chọn của bạn thành hàng hoặc cột tham chiếu. Cho dù bạn chọn cái nào, bạn vẫn sẽ nhận được câu trả lời giống nhau. Tạm thời chọn hàng đầu tiên. Chúng tôi sẽ cung cấp cho bạn một số gợi ý để chọn tùy chọn dễ tính toán nhất trong phần tiếp theo.
Chọn hàng đầu tiên của ma trận mẫu A. Khoanh tròn số 1 5 3. Trong kí hiệu chung, khoanh tròn a11 Một12 Một13.
Bước 2. Gạch bỏ hàng và cột của phần tử đầu tiên của bạn
Nhìn vào hàng hoặc cột bạn đã khoanh tròn và chọn phần tử đầu tiên. Gạch bỏ các hàng và cột. Sẽ chỉ có 4 con số còn nguyên. Hãy biến 4 số này thành ma trận bậc 2 x 2.
- Trong ví dụ của chúng tôi, hàng tham chiếu của chúng tôi là 1 5 3. Phần tử đầu tiên nằm ở hàng thứ nhất và cột thứ nhất. Gạch bỏ toàn bộ hàng thứ nhất và cột thứ nhất. Viết các phần tử còn lại vào ma trận 2 x 2:
- 1 5 3
- 2 4 7
- 4 6 2
Bước 3. Xác định định thức của ma trận bậc 2 x 2
Hãy nhớ rằng, hãy xác định định thức của ma trận [MộtNS NSNS] qua ad - bc. Bạn cũng có thể đã học cách xác định định thức của ma trận bằng cách vẽ một dấu X giữa ma trận 2 x 2. Nhân hai số được nối với dòng / của X. Sau đó, trừ số lần hai số được nối với nhau bởi dòng / là. Sử dụng công thức này để tính định thức của ma trận 2 x 2.
- Trong ví dụ, định thức của ma trận [46 72] = 4*2 - 7*6 = - 34.
- Định thức này được gọi là người vị thành niên của các phần tử bạn đã chọn trong ma trận ban đầu. Trong trường hợp này, chúng tôi vừa tìm thấy trẻ vị thành niên của một11.
Bước 4. Nhân số tìm được với phần tử bạn đã chọn
Hãy nhớ rằng, bạn đã chọn các phần tử từ hàng (hoặc cột) tham chiếu khi bạn quyết định loại bỏ hàng và cột nào. Nhân phần tử này với định thức của ma trận 2 x 2 mà bạn đã tìm thấy.
Trong ví dụ, chúng tôi chọn một11 là 1. Nhân số này với -34 (định thức của ma trận 2 x 2) để được 1 * -34 = - 34.
Bước 5. Xác định ký hiệu câu trả lời của bạn
Bước tiếp theo là bạn phải nhân câu trả lời của mình với 1 hoặc -1 để có được đồng nhân tố của phần tử bạn đã chọn. Ký hiệu bạn sử dụng phụ thuộc vào vị trí của các phần tử trong ma trận 3 x 3. Hãy nhớ rằng bảng ký hiệu này được sử dụng để xác định hệ số nhân của phần tử của bạn:
- + - +
- - + -
- + - +
- Bởi vì chúng tôi chọn một11 được đánh dấu +, chúng tôi sẽ nhân số với +1 (hay nói cách khác, không thay đổi nó). Câu trả lời xuất hiện sẽ giống nhau, cụ thể là - 34.
- Một cách khác để xác định một biểu tượng là sử dụng công thức (-1) i + j trong đó i và j là các phần tử hàng và cột.
Bước 6. Lặp lại quá trình này cho phần tử thứ hai trong hàng hoặc cột tham chiếu của bạn
Quay lại ma trận 3 x 3 ban đầu mà bạn đã khoanh vào hàng hoặc cột trước đó. Lặp lại quá trình tương tự với phần tử:
-
Gạch bỏ hàng và cột của phần tử.
Trong trường hợp này, hãy chọn phần tử a12 (giá trị là 5). Gạch bỏ hàng thứ nhất (1 5 3) và cột thứ 2 (5 4 6).
-
Biến các phần tử còn lại thành ma trận 2x2.
Trong ví dụ của chúng tôi, ma trận bậc 2x2 cho phần tử thứ hai là [24 72].
-
Xác định định thức của ma trận 2x2 này.
Sử dụng công thức ad - bc. (2 * 2 - 7 * 4 = -24)
-
Nhân với các phần tử của ma trận 3x3 bạn đã chọn.
-24 * 5 = -120
-
Quyết định có nhân kết quả trên với -1 hay không.
Sử dụng bảng ký hiệu hoặc công thức (-1)ij. Chọn phần tử a12 được ký hiệu - trong bảng ký hiệu. Thay ký hiệu câu trả lời của chúng tôi bằng: (-1) * (- 120) = 120.
Bước 7. Lặp lại quá trình tương tự cho phần tử thứ ba
Bạn có thêm một đồng yếu tố để xác định yếu tố quyết định. Đếm i cho phần tử thứ ba trong hàng hoặc cột tham chiếu của bạn. Đây là một cách nhanh chóng để tính toán cofactor a13 trong ví dụ của chúng tôi:
- Gạch bỏ hàng đầu tiên và cột thứ 3 để có [24 46].
- Định thức là 2 * 6 - 4 * 4 = -4.
- Nhân với phần tử a13: -4 * 3 = -12.
- Yếu tố a13 ký hiệu + trong bảng ký hiệu, vì vậy câu trả lời là - 12.
Bước 8. Cộng kết quả của ba lần đếm của bạn
Đây là bước cuối cùng. Bạn đã tính toán ba cofactors, một cho mỗi phần tử trong một hàng hoặc cột. Cộng các kết quả đó và bạn sẽ tìm thấy định thức của ma trận 3 x 3.
Trong ví dụ, định thức của ma trận là - 34 + 120 + - 12 = 74.
Phần 2 của 2: Làm cho việc giải quyết vấn đề trở nên dễ dàng hơn
Bước 1. Chọn hàng hoặc cột tham chiếu có nhiều số 0 nhất
Hãy nhớ rằng, bạn có thể chọn bất kỳ hàng hoặc cột nào bạn muốn. Cho dù bạn chọn cái nào, câu trả lời sẽ giống nhau. Nếu bạn chọn một hàng hoặc cột có số 0, bạn chỉ cần tính toán đồng yếu tố với các phần tử không phải là 0 vì:
- Ví dụ: chọn hàng thứ 2 có phần tử a21, Một22, quỹ23. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ sử dụng 3 ma trận 2 x 2 khác nhau, giả sử A21, MỘT22, Bạn23.
- Định thức của ma trận 3x3 là a21| A21| - Một22| A22| + a23| A23|.
- Nếu một22 quỹ23 giá trị 0, công thức hiện tại sẽ là21| A21| - 0 * | A22| + 0 * | A23| = a21| A21| - 0 + 0 = a21| A21| Do đó, chúng tôi sẽ chỉ tính toán cofactor của một phần tử mà thôi.
Bước 2. Sử dụng các hàng phụ để làm cho các bài toán ma trận dễ dàng hơn
Nếu bạn lấy các giá trị từ một hàng và thêm chúng vào một hàng khác, yếu tố quyết định của ma trận sẽ không thay đổi. Điều này cũng đúng với các cột. Bạn có thể thực hiện điều này nhiều lần hoặc nhân với một hằng số trước khi thêm nó để nhận được càng nhiều số 0 trong ma trận càng tốt. Điều này có thể tiết kiệm rất nhiều thời gian.
- Ví dụ: bạn có một ma trận với 3 hàng: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
- Để loại bỏ số 9 ở vị trí a11, bạn có thể nhân giá trị ở hàng thứ 2 với -3 và cộng kết quả vào hàng đầu tiên. Bây giờ, dòng đầu tiên mới là [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Ma trận mới có các hàng [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Sử dụng thủ thuật tương tự trên các cột để tạo12 là số 0.
Bước 3. Sử dụng phương pháp nhanh cho ma trận tam giác
Trong trường hợp đặc biệt này, yếu tố quyết định là tích của các phần tử trên đường chéo chính, của một11 ở trên cùng bên trái đến một33 ở dưới cùng bên phải của ma trận. Ma trận này vẫn là ma trận 3x3, nhưng ma trận "tam giác" có một mẫu số đặc biệt không phải là 0:
- Ma trận tam giác phía trên: Tất cả các phần tử không phải 0 đều nằm trên hoặc trên đường chéo chính. Tất cả các số bên dưới đường chéo chính là 0.
- Ma trận tam giác đáy: Tất cả các phần tử không phải 0 nằm trên hoặc dưới đường chéo chính.
- Ma trận đường chéo: Tất cả các phần tử không phải 0 đều nằm trên đường chéo chính (tập con của các loại ma trận trên).
Lời khuyên
- Nếu tất cả các phần tử trong một hàng hoặc cột là 0, thì định thức của ma trận là 0.
- Phương pháp này có thể được sử dụng cho mọi kích thước của ma trận bậc hai. Ví dụ: nếu bạn sử dụng phương pháp này cho một ma trận có thứ tự 4x4, "cú đánh" của bạn sẽ để lại một ma trận có thứ tự 3x3 mà định thức có thể được xác định bằng cách làm theo các bước ở trên. Hãy nhớ rằng, làm điều này có thể được nhàm chán!
